Diese Übung beschäftigt sich mit folgenden Fragen:
Wie stellt man eine Funktion für die Beschreibung einer geometrischen Form auf? Wie berechnet man den Flächeninhalt mit dem Integral einer Funktion? Wie berechnet man eine Halbkreisfläche in Polarkoordinaten? Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks? Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Halbkreises? Stehaufmännchen • pickedshares. Wie formuliert man ein Ungleichgewicht als Formel? Aufgabe
Ein Stehaufmännchen besteht aus einer Halbkreisfläche mit dem Radius r und einer darauf aufgesetzten Dreiecksfläche mit der Höhe h. Es ist das Verhältnis von h zu r zu berechnen, damit sich das Stehaufmännchen aufrichtet. Reibung soll hierbei nicht berücksichtigt werden. Stehaufmännchen aus Halbkreis und Dreieck
Lösung
Zur Lösung der Aufgabe werden im ersten Schritt die jeweiligen Einzelflächen und Einzelschwerpunkte berechnet. Anschließend wird die Aufrichtbedingung formuliert und gelöst. Um die Berechnung zu vereinfachen, wird die Koordinatenrichtung für x in beiden Fällen positiv angenommen.
Schwerpunkt Eines Halbkreises - Herleitung
In einem Halbkreis mit dem Durchmesser ergibt sich das arithmetische Mittel von und als Radius. Wählt man wieder als Durchmesser und konstruiert eine Orthogonale in dem Punkt, an dem sich und treffen, ergibt sich das geometrische Mittel als die Länge von diesem Punkt bis zum Schnittpunkt mit dem Halbkreis. Schwerpunkt eines Halbkreises - Herleitung. [1]
Diese Eigenschaft lässt sich mit dem Satz des Pythagoras beweisen und kann außerdem zur Quadratur (Bestimmung der Fläche) eines Rechtecks verwendet werden. Ein Rechteck mit den Seitenlängen und und ein Quadrat mit der Seitenlänge des geometrischen Mittels aus und haben denselben Flächeninhalt. Für beliebige Formen ( außer dem Kreis), für die sich ein Rechteck gleicher Fläche konstruieren lässt, kann so auch deren Flächeninhalt bestimmt werden. Parametrisierung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Halbkreis mit Radius und Mittelpunkt, der sich vollständig oberhalb von befindet, lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:. Der entsprechende Halbkreis, der vollständig unterhalb von liegt, lässt sich ausdrücken als:.
Halbkreis
Das größte Dreieck ist
gleichschenklig-rechtwinklig. Rechteck
Es gilt A=2xy. A²/4=x²y²= r²x²-(x²)², (A²/4)'=0
ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)r. Das größte Rechteck
ist ein Doppelquadrat. Trapez
Es gilt A=[(2r+2x)/2]y=(x+r)y. Die Nebenbedingung ist x²+y²=r² oder y²=r²-x². Die Zielfunktion ist A²(x)=(x+r)²y²=(x²+2rx+r²)(r²-x²)=-x 4 -2rx 3 +2r³x+r 4. (A²)'=-4x³-6rx²+2r³. (A²)'=0 führt zur Lösung x=r/2. (Gel ö st
durch Probieren). Dann ist y=(1/2)sqrt(3)r. Halbkreis. Die Maximalstelle ist gesichert: (A²)''=-12x²-12r²<0
für x=r/2. Ergebnis: Das größte Trapez hat die Grundseiten
2r und r und die Höhe (1/2)sqrt(3)r. Es ist ein halbes regelmäßiges
Sechseck. Fensterproblem
U sei der Umfang. Es gilt A=2xy+(Pi/2)x². Nebenbedingung U=2x+2y+Pi*x, Zielfunktion A(x)=Ux-2x²-(Pi/2)*x²,
A'(x)=U-4x-Pi*x, A'=0 ergibt x=U/(4+Pi), y=x. Das Rechteck ist ein Doppelquadrat. Fächerrosetten
In meiner Heimatstadt Bad Salzuflen gibt es eine Reihe
von Fachwerkhäusern mit geschnitzten Fächerrosetten im Giebel
in Form von Halbkreisen. Diese Rosetten sind ein Merkmal der Weserrenaissance.
Stehaufmännchen &Bull; Pickedshares
Es geht in der rechten Zeichnung darum, x (bzw. x/2) zu bestimmen,
wenn a gegeben ist. Es gilt die kubische Gleichung x³-3x-2a=0, die
nur für Sonderfälle durch Terme aus Quadraten lösbar ist. Das Zeichengerät wird durch die Zeichnung erklärt. Herleitung der kubischen
Gleichung
Lösungsskizze:
Der gegebene Winkel sei BSA. Er wird durch die Strecke
a bestimmt. SK drittelt den Winkel, SK wird durch die Strecke x/2
gegeben. >Die Dreiecke SKB und BCK sind ähnlich. Es gilt:
z:y=y:1, dann z=y². >Es gilt der erste Strahlensatz: SC:SK=SC':SK' oder (1-z):1=a:(x/2). >Es gilt nach dem Satz des Pythagoras in Dreieck SKK':
(x/2)²+(y/2)²=1.... Daraus folgt nach längerer Rechnung x³-3x-2a=0,
wzbw. Mehr findet man auf meiner
Seite Dreiteilung eines Winkels. Halbkreis auf Figuren
Fenster, Türen, Tore...... Wenn man sich in seiner Umgebung umsieht, bemerkt man
die meisten Halbkreise bei Fenstern, Türen oder Toren. Halbkreise schließen Rechtecke oben ab und schmücken
sie. Oft sind die Halbkreise unterteilt und geben so dem Halbbogen eine
besondere Note.......
Wappenschild
Zaun
Arkaden
Halbkreisfiguren
der "Alten Griechen" top
Das Besondere ist, dass die farbigen und die gepunkteten
Figuren den gleichen Flächeninhalt haben.
Eines dieser Häuser steht in der Langen Straße
33, Baujahr 1612. Alle Rosetten sind voneinander verschieden. Zu sehen
sind hier drei von 22 Rosetten. Das sind drei bekannte Formen, nämlich die Palmetten-,
die Muschel- und die Fächerrosette. Sonstiges
Halbkreis im Internet
Deutsch
Ingmar Rubin
Ellipse
im Halbkreis, Ein
Halbkreis im Trapez, ( Dateien)
Wikipedia
Halbkreis,
Arbelos,
Möndchen
des Hippokrates, Dreiteilung
des Winkels, Apollonisches
Problem
Englisch
Eric W. Weisstein (world of mathematics)
Semicircle,
Pappus
Chain,
Apollonius'
Wikpedia
Lune
of Hippocrates
Referenzen top
(1) eidenbach: Die Dreiteilung
des Winkels, Leipzig 1933
(2) Martin Gardner: Mathematischer
Karneval, Frankfurt/M, Berlin 1975 (ISBN 3 550 07675 4)
(Die Dreiteilung des Winkels, Seite
259ff. ) Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
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