In Teil 1 und Teil 4 haben wir verschiedene geometrische Darstellungen von komplexen Zahlen kennengelernt und auch, wie man damit Rechnungen »konstruktiv« durchführen kann. In Teil 3 haben wir uns mit den verschiedene algebraische Darstellungen beschäftigt. Jetzt ist es an der Zeit mit den komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung schriftlich zu rechnen. Addition/Subtraktion
Die Addition erfolgt durch paralleles Verschieben eines Pfeils ans Ende des anderen (s. Abb. 1). Dadurch werden in Richtung der beiden Achsen einfach die Komponenten addiert:. Abb. 1: Die Addition komplexer Zahlen. Komplexe Zahlen, Teil 5 – Rechnen in kartesischer Darstellung – Herr Fessa. Das zu additiv Inverse ist. Die Subtraktion wird damit zur Addition. Bei der komplexen Addition bzw. Subtraktion werden also einfach die Real- bzw. Imaginärteile getrennt voneinander addiert bzw. subtrahiert. Multiplikation
Zur Berechnung des Produkts zweier komplexer Zahlen
tun wir so, als würden wir zwei Klammerterme ausmultiplizieren:. Jetzt verwenden wir und erhalten. Hat diese komische Mischung der Real- und Imaginärteile von und aber tatsächlich die Eigenschaften, die wir in Teil 1 für die Multiplikation gefunden haben?
Quotient Komplexe Zahlen Chart
Sei
z
eine komplexe Zahl. In der trigonometrischen Darstellung ist
=
|
(
cos
φ
+
i
sin
φ)
Für einen konstanten Betrag
ist
eine Funktion einer Veränderlichen
φ. Differenziert man
nach
φ, so erhält man
d
-
Folglich ist
Dies ist eine lineare gewöhnliche
Differenzialgleichung erster Ordnung mit der Anfangsbedingung
0)
|. Quotient komplexe zahlen 3. Die Gleichung
A
e
erfüllt, da
ist. Nach Substitution der Anfangsbedingung erhält man
0
⋅
1
Folglich ist die Lösung von
Gleichung ist die so genannte Euler´sche
Formel oder Exponentialform der komplexen Zahl
z.
Periodizität von
Die Funktionen
und
sind periodisch mit der Periode
2
π. Diese Periodizität zeigt sich dementsprechend auch in
φ, das gleich
ist:
π)
π
Diese Gleichheit gilt für jedes ganzzahlige Vielfache von
n)
n
0,
±
1,
2,
…
stellt in der komplexen Zahlenebene, sagen wir für
60
∘
/
3, einen Punkt auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten
x,
y)
3
2)
dar. Für
macht der Punkt entlang des Kreises genau einen Umlauf gegen den
Uhrzeigersinn, für
3,
entsprechend zwei, drei,... Umläufe.
Diese Vertauschung ist genau das, was man sich von einer Drehung um 90° erwartet (Kästchenzählen in Abb. 3). Die Länge bleibt bei dieser Drehung unverändert, also. Für einen beliebigen Pfeil kann man das Produkt aufgrund des Distributivgesetzes aufteilen in,
also in einen Pfeil parallel zu plus einen senkrecht dazu (s. 4). Weil ist, ist das grüne Dreieck um den Faktor größer als das blaue. Für seine Hypotenuse gilt daher. Außerdem findet sich der Winkel aus dem blauen Dreieck auch im grünen wieder. Offensichtlich werden und für den Gesamtwinkel addiert. LehrplanPLUS - Komplexe Zahlen (optional). Erstaunlicherweise reicht alleine die Forderung schon aus, dass bei der Multiplikation beliebiger Pfeile deren Winkel addiert werden. Und es ist tatsächlich eine von uns gewollte Forderung, die zu den gewohnten Rechenregeln dazukommt. multiplikativ Inverses und Division
Zu jedem muss es ein multiplikativ Inverses geben, so dass
ist. Wie sehen Real- und Imaginärteil von diesem aus? Es muss gelten
Weil komplexe Zahlen dann gleich sind, wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen, führt uns das auf das lineare Gleichungssystem
für und.