Aus folgt, also und damit. Es ist dann
Fall 2:
Ist, dann ist auch, weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist
Fall 3:
Charakteristische Eigenschaft [ Bearbeiten]
Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt:
Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich durch, ergibt sich:
Daraus folgt:
Es ist also genau dann, wenn und ist. Analog ist genau dann, wenn und. Eigenschaften (Übersicht) [ Bearbeiten]
Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird:
Eigenschaft des Betrags
Eigenschaft für den Abstand
Beweise der Betragseigenschaften [ Bearbeiten]
Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null [ Bearbeiten]
Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Lineare funktionen übersicht pdf video. Es gilt also
Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Für ist.
- Lineare funktionen übersicht pdf 1
- Lineare funktionen übersicht pdf video
- Lineare funktionen übersicht pdf version
Lineare Funktionen Übersicht Pdf 1
Beweis (Dreiecksungleichung)
Aus und folgt ("Monotonie der Addition"). Analog folgt aus und, dass, also ist (wiederum "Monotonie der Addition"). Da entweder oder ist, ist auch. Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände nach oben abzuschätzen. In die Differenz kann nämlich ein Term eingeschoben werden, also
Der Abstand kann also über die Abstände und nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet. Abschätzung des Abstands nach unten [ Bearbeiten]
Satz (Abschätzung des Abstands nach unten)
Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten)
Es ist
und damit nach Umformung der Ungleichung
Analog folgt aus
die Ungleichung
Insgesamt ist also sowohl als auch kleiner als. Übersicht zu linearen Funktionen. Damit ist
Betrag des Quotienten [ Bearbeiten]
Satz (Betrag des Quotienten)
Für Quotienten ist
Beweis (Betrag des Quotienten)
Es ist wegen der Multiplizität des Betrags:
Durch Multiplikation von auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung. Alternativer Beweis (Betrag des Quotienten)
Gegeben sei.
Lineare Funktionen Übersicht Pdf Video
Mögliche Unterrichtsbausteine
Wiederholung Proportionalität, Antiproportionalität ( Auftrag)
Graphen von Proportionalitäten (im Vergleich dazu von Antiproportionalitäten)
Üben und Festigen der Begriffe mit erstellten Aufgabenkarten (1) ( Vorlage)
Begriff der Steigung ( Auftrag und Vorlage, Anwendungsaufgaben zum Vertiefen und Festigen: z. B. Lineare Funktionen - Übersicht und Erklärung - Studimup.de. aus Mathematikbuch 3, Lernumgebung 18 – S. 41, Nr. 3 und 4)
Geraden ( Einstieg, Vertiefung, Spiel)
Üben und Festigen (2)
Achtung: Bei einigen Aufgaben machen eigentlich nur die natürlichen Zahlen als Definitionsmenge Sinn. Hier ist es wichtig, mit den SuS über den Modellierungsgedanken zu sprechen und Vor- und Nachteile zu diskutieren. (1) Zu Beginn einer Stunde kommt ein/e Schüler/in nach vorne, zieht eine Karte, entscheidet, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt (oder um keine von beiden, falls solche Karten dabei sind), füllt am OHP eine Wertetabelle aus, skizziert dann den zugehörigen Graphen und gibt die Zuordnungsvorschrift an.
Lineare Funktionen Übersicht Pdf Version
Eine lineare Funktion ist eine Funktion mit konstanter Steigung der Form:
y=mx+t
Dabei gibt m die Steigung an
je größer m ist, desto steiler steigt/fällt die Funktion
ist m positiv, steigt die Funktion
ist m negativ, fällt die Funktion
t den y-Achsenabschnitt. (also den Schnittpunkt mit der y-Achse)
f(x)=y Lasst euch nicht verwirren, falls euer Lehrer f(x) statt y schreibt, das bedeutet dasselbe. Die Erklärung wie man Nullstellen genau berechnet, findet ihr unter Nullstellen. Lineare funktionen übersicht pdf translation. Wenn ihr wissen wollt, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, setzt ihr die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein, wenn die Gleichung dann stimmt (also wenn links und rechts dieselbe Zahl
rauskommt), liegt der Punkt auf der Geraden, wenn nicht liegt er daneben. Beispiel:
Gegeben ist der Punkt P(1I3) und die Funktion f: y=x+2
Man setzt den Punkt in die Gleichung ein: 3=1+2
-> Der Punkt liegt auf der Geraden, da die Gleichung aufgeht 3=3. Liegt der Punkt P(3|4) auf der Geraden f(x)=x+1? Einblenden
Liegt der Punkt A(4|1) auf der Geraden f(x)=4x-1?
Teil: Gleichung der Mittelsenkrechten bestimmen
2. Teil: Mittelpunkte von Strecken bestimmen
3. Teil: Gleichung der Seitenhalbierenden bestimmen
4. Teil: Überprüfen, ob ein Punkt auf der Gerade liegt
5. Teil: Ergebnisse in Koordinatensystem zeichnen