Übersicht der Terminologie
Elemente paarweise verschieden
Elemente können mehrfach vorkommen
ohne Zurücklegen, ohne Wiederholung
mit Zurücklegen, mit Wiederholung
geordnete Stichprobe, mit Berücksichtigung der Reihenfolge, d. h. Reihenfolge relevant
Permutation
Permutation ohne Wiederholung (engl. n-permutation)
Permutation mit Wiederholung (engl. n-tuple)
Variation
Variation ohne Wiederholung (engl. k-permutation)
Variation mit Wiederholung (engl. k-tuple)
ungeordnete Stichprobe, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, d. h. Reihenfolge irrelevant
Kombination
Kombination ohne Wiederholung (engl. k-combination)
Kombination mit Wiederholung (engl. k-multiset)
Anzahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Im Folgenden bezeichnet die Zahl der vorhandenen Elemente und die Zahl ausgewählten Elemente bzw. die jeweiligen Anzahlen der Elemente, die nicht unterscheidbar sind. Anzahl möglicher Permutationen, Variationen und Kombinationen
ohne Wiederholung
mit Wiederholung
Permutationen
→ Fakultät
→ Multinomial
Variationen
→ Fallende Fakultät
→ k-Tupel
Kombinationen
→ Mengen (k-Teilmengen)
→ Multimengen
Bälle und Fächer [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Verallgemeinerung des Urnenmodells ist ein von Gian-Carlo Rota popularisiertes Modell mit Bällen und Fächern, im Englischen nach einem Vorschlag von Joel Spencer auch Twelvefold Way ("Zwölffacher Weg") genannt.
Variation Mit Wiederholung Die
Variation mit Wiederholung Wir haben es mit einer Variation mit Wiederholung zu tun, wenn die einzelnen Objekte mehrfach in der Auswahl vorkommen können. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen In unserem Beispiel könnte das bedeuten, dass die verschiedenfarbigen Kugeln nach jedem Ziehen zurückgelegt werden. So ist es möglich, dass eine Kugel derselben Farbe mehrmals gezogen wird. Merke Hier klicken zum Ausklappen Um die Variation mit Wiederholung einer Auswahl von $k$ Objekten von einer Gesamtzahl an $n$ Objekten zu berechnen, benötigt man diese Formel: $\Large{n^k}$ Beispielaufgabe Beispiel Hier klicken zum Ausklappen In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel zurück in die Urne gelegt. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es? Anzahl $n$ aller Objekte: $6$ Anzahl $k$ der ausgewählten Objekte: $4$ $\Large{n^k = 6^4 = 1296}$ Es gibt insgesamt also $1296$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen.
Variation Mit Wiederholung Den
Variationen mit Wiederholung. Die Anzahl V mW
der k-Variationen mit Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen
beträgt. Beachte: Bei einer k -Variation mit Wiederholung
aus einer Menge mit n Elementen kann k > n sein. Übungen
1. Ein Byte besteht aus 8 Bit, und ein
Bit ist eine Binärziffer, die die Werte 0 und 1 annehmen kann. Wie
viele 8-stellige Binärcodes lassen sich mit einem Byte darstellen? 2. Aus einem Skatblatt (32 Blatt) wird
viermal eine Karte gezogen und wieder in den Stapel zurückgelegt. Die gezogenen Karten werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert. Wie
viele 4- Tupel ergeben sich auf diese Weise?
Variation Mit Wiederholung Beispiel
3. 3 Variationen
3. 3. 1 Variationen ohne Wiederholung
1. Eine Urne enthält 9 Kugeln, die von
1 bis 9 durchnummeriert sind. Es werden nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen
herausgegriffen. Nach dem Zählprinzip gibt es verschiedene
Möglichkeiten, 3-Tupel aus den 9 verschiedenen Elemente der Menge ohne
Wiederholung zu bilden. 2. Beim Pferderennen müssen von 18
Pferden 3 in der Reihenfolge ihres Zieleinlaufs vorausgesagt werden. Die
Anzahl der möglichen 3-Tupel beträgt,
da Wiederholungen nicht möglich sind. 3. Bildet man aus einer Menge mit n
Elementen k -Tupel mit und
verschiedenen Elementen, dann heißt ein solches k -Tupel eine
Variation k-ter Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung. Nach dem Zählprinzip gibt es solcher
Variationen ohne Wiederholung. Nach Erweitern mit ergibt
sich:
Die Anzahl V oW
der k -Variationen ohne Wiederholung aus einer Menge mit n
Elementen ( k < n) beträgt. 4. Die Permutationen ohne Wiederholung
lassen sich als Sonderfall für k = n ansehen. Soll die
Formel allgemein gelten, so muss
sein.
Variation Mit Und Ohne Wiederholung
Berechnung von möglichen Variationen ohne Wiederholung aus einer Menge
Funktion zur Berechnung möglichen Variationen
Mit dieser Funktion wird die Anzahl der möglichen Variationen aus einer Menge ohne Wiederholung berechnet. Bei der Variationen ohne Wiederholung wird eine Anzahl k aus der Gesamtmenge n
unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt. Beschreibung zu Variationen ohne Wiederholung
Die Funktion Variation ohne Wiederholung berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt,
eine bestimme Auswahl an Objekten zu ordnen. Bei der Kombination der Variationen wird eine Anzahl k aus der Gesamtmenge n
Jedes Objekt darf in der Objektgruppe nur einmal, also ohne Wiederholung, ausgewählt werden kann. Beim Urnenmodell entspricht dies einer Ziehung ohne Zurücklegen aber mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Dieses Beispiel zeigt wieviel Gruppen mit 2 Objekten aus den Ziffern 1 bis 3 gebildet werden können. Es sind die Gruppen (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3) und (3, 2). Also sechs Gruppen. Beispiel und Formel
Aus einer Kiste mit sechs verschiedenfarbige Kugeln sollen vier Kugeln gezogen werden.
Variationen ohne Wiederholung Methode Hier klicken zum Ausklappen Wenn man mit n Objekten ein k-Tupel (a 1, a 2,..., a k) bildet (k ≤ n) und sich die Elemente des Tupels nicht wiederholen (a i ≠ a j für i ≠ j), so spricht man von einer Variation k. Ordnung der n Elemente ohne Wiederholung. Es gibt $\ {n! \over {(n-k)! }} $ viele hiervon. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Wir wollen n = 4 Liegen mit k = 2 Menschen belegen. Es ist k = 2 ≤ n = 4, die Elemente wiederholen sich nicht (ein- und derselbe Mensch kann nicht auf unterschiedlichen Liegen Platz nehmen). Es gibt $\ {4! \over {(4-2)! }} = {4! \over 2! } = {{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \over {1 \cdot 2}} ={{24} \over {2}} = 12 $ Möglichkeiten, eine Belegung vorzunehmen, nämlich folgende: (1, 2, L, L) (2, 1, L, L) (L, 2, 1, L) (L, 1, 2, L) (L, L, 1, 2) (L, L, 2, 1) (1, L, L, 2) (2, L, L, 1) (1, L, 2, L) (2, L, 1, L) (L, 2, L, 1) (L, 1, L, 2) Die Zahlen 1 und 2 stehen für die jeweiligen Menschen, der Buschstabe L für die Liegen. Zu beachten ist, dass die Menschen 1 und 2 zwar unterscheidbar sind, jedoch die Liegen L nicht!
Deshalb ist, wenn man den Buchstaben L durch Liege 3 und 4 austauscht, die Kombination (1, 3, 4, 2) die selbe wie (1, 4, 3, 2), weil nur die unbelegten Liegen getauscht werden, was für die Fragestellung unerheblich ist. Denn Ziel war es ja, die Möglichkeiten zu finden, k = 2 Meschen auf n = 4 Liegen aufzuteilen. Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird:
Anleitung zur Videoanzeige
Variationen mit Wiederholung Methode Hier klicken zum Ausklappen Ein k-Tupel (a 1, a 2,..., a k) aus k-Elementen einer n-elementigen Obermenge nennt man Variation k. Ordnung von n-Elementen mit Wiederholung. Dafür gibt es n k viele Möglichkeiten. Merke Hier klicken zum Ausklappen Die einzelnen Elemente a i, a j müssen also nicht ungleich sein, die Bedingung a i ≠ a j für i ≠ j fehlt im Gegensatz zu den Variationen ohne Wiederholung. In den k-Tupeln wird die Abfolge der Elemente unterschieden. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Beim dreifachen "coin toss" gibt es (k = 3 maliges Werfen einer Spielmünze mit n = 2 Farben, Rot und Schwarz) insgesamt n k = 2 3 = 8 verschiedene Möglichkeiten.