Grafische Darstellung der Dreiecksungleichung: die Summe der Seiten x ist ja ist immer größer als die Seite z. Für den Fall, dass das Dreieck nahezu entartet ist, nähert sich diese Summe der Länge von z Im Mathe, das Dreiecksungleichung besagt, dass in a Dreieck, die Summe der Längen zweier Seiten ist größer als die Länge der dritten. [1] Eine seiner Folgen, die inverse Dreiecksungleichung, stattdessen besagt, dass der Unterschied zwischen den Längen der beiden Seiten kleiner ist als die Länge der restlichen. Im Rahmen der Euklidische Geometrie, ist die Dreiecksungleichung a Satz, Folge der Kosinussatz, und im Falle von rechtwinklige Dreiecke, Folge der Satz des Pythagoras. Beweis zu: Die umgekehrte Dreiecksungleichung - YouTube. Es kann verwendet werden, um zu zeigen, dass der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten der Segment gerade Linie, die sie verbindet. Im Rahmen des geregelte Räume und von metrische Räume, ist die Dreiecksungleichung eine Eigenschaft, die jeder Norm oder Entfernung es muss besitzen, um als solches angesehen zu werden. [2] [3] Euklidische Geometrie
Euklids Konstruktion zum Beweis der Dreiecksungleichung Euklid bewies die Dreiecksungleichung mit der Konstruktion in der Abbildung.
Beweis Zu: Die Umgekehrte Dreiecksungleichung - Youtube
Dreiecksungleichung für metrische Räume
In einem metrischen
wird als Axiom
für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der
Form
erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die
Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum
auch die umgekehrte Dreiecksungleichung
gilt. Außerdem gilt für beliebige
die Ungleichung. Basierend auf einem Artikel in:
Seite zurück © Datum der letzten Änderung:
Jena, den: 17. Dreiecksungleichung – Wikipedia. 04. 2020
Dreiecksungleichung – Wikipedia
Beweis
i. erhält man sofort aus ∣ ∣ 0 ∣ ∣ = ∣ ∣ 2 ⋅ 0 ∣ ∣ = 2 ⋅ ∣ ∣ 0 ∣ ∣ ||0||=||2\cdot 0||=2\cdot||0||. ii. ist ebenso einfach ∣ ∣ − a ∣ ∣ = ∣ ∣ − 1 ⋅ a ∣ ∣ = ∣ − 1 ∣ ⋅ ∣ ∣ a ∣ ∣ = ∣ ∣ a ∣ ∣ ||\uminus a||=||\uminus 1\cdot a||=|\uminus 1|\cdot ||a||= ||a|| □ \qed
Bemerkung
Durch den Ansatz d ( x, y): = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ d(x, y):=||x-y|| wird auf V V eine Metrik erklärt. Damit ist V V insbesondere ein metrischer Raum. Begriffe, wie konvergente Folge, Cauchyfolge, offene Mengen und abgeschlossene Mengen etc. gelten auch für normierte Räume. Dreiecksungleichung. Definition Banachraum
Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum (benannt nach dem Mathematiker Stefan Banach). Beispiele
Reelle Zahlen
R n \R^n mit der p-Norm ( R n, ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p) (\R^n, ||\cdot||_p)
∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ ξ i ∣ p) 1 p ||x||_p= \left(\sum\limits_{i=1}^n |\xi_i|^p\right)^{\dfrac{1}{p}} für 1 ≤ p < ∞ 1\leq p<\infty,
wobei x = ( ξ 1, …, ξ n) x=(\xi_1, \dots, \xi_n). Diese Norm geht für p → ∞ p\to\infty in die die Maximumnorm ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n ∣ ξ i ∣ ||x||_\infty=\max_{1\leq i \leq n} |\xi_i| über.
Wie Geht Dreiecksungleichung? (Mathe, Mathematik)
Beweis zu: Die umgekehrte Dreiecksungleichung - YouTube
Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung ist in der Geometrie
ein Satz,
der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden
anderen Seiten ist. Das "höchstens" schließt dabei den Sonderfall der Gleichheit
ein. Die Dreiecksungleichung spielt auch in anderen Teilgebieten der Mathematik
wie der Linearen
Algebra oder der Funktionalanalysis
eine wichtige Rolle. Formen der Dreiecksungleichung
Dreiecksungleichung für Dreiecke
Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck
die Summe der Längen zweier Seiten
und
stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite. Das heißt formal:
Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets
höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C
nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: "Der direkte Weg ist
immer der kürzeste. " Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn
Teilstrecken von
sind – man spricht dann auch davon, dass das Dreieck "entartet" ist. Da aus Symmetriegründen auch
gilt, folgt,
analog erhält man,
insgesamt also.
Beispiel Dreiecksungleichung
im Video zur Stelle im Video springen (03:13)
Dieses Beispiel wird mit Hilfe von Vektoren durchgeführt. Dabei werden drei Punkte im zweidimensionalen Raum, die ein Dreieck bilden, angenommen. Punkt A, Punkt B und Punkt C. Als Erstes werden nun die Strecken berechnet. Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen gerundet. In die normale Dreiecksungleichung eingesetzt:
In die umgekehrte Dreiecksungleichung eingesetzt:
Dreiecksgleichung Rechenbeispiel
Damit sind beide Ungleichungen richtig und stimmen für dieses Beispiel. Weitere Herleitung mit Kosinussatz
Diese Herleitung erfolgt wieder mit reellen Zahlen. Die Dreiecksungleichung lässt sich des Weiteren aus dem Kosinussatz herleiten. Dieser lautet:
Außerdem hat der Kosinus einen Definitionsbereich von -1 bis 1. Daraus lässt sich schließen:
Anschließend wird dies mit multipliziert:
Eine Addition der letzten Gleichung und des Kosinussatzes ergibt:
Unter Verwendung der binomischen Formel:
Zum Schluss wird die Wurzel gezogen und das Ergebnis stimmt mit der Dreiecksungleichung überein.
Vielen Dank!