Auch hier darf nicht über die Schnittpunkte hinweg integriert werden. Bei Funktionen,
deren Graphen sich nicht
schneiden, wird die
Fläche zwischen den Graphen so berechnet:
Vor dem Integrieren wird die
"untere" Funktion von der "oberen" Funktion subtrahiert. Das Ergebnis (Differenz) wird als eine Funktion innerhalb des
Intervalls integriert. deren Graphen sich schneiden,
wird die Fläche zwischen den Graphen so berechnet:
Für jede Teilfläche wird die
"untere" von der "oberen" Funktion subtrahiert und die Differenz-Funktion
integriert. Alle Teil-Integrale werden summiert. Alle Flächen haben absolute
Beträge als Maßzahlen. Es darf nicht über die Schnittpunkte hinweg
integriert werden. Der Graph der Funktion und eine
Gerade schneiden sich in einem Punkt und schließen mit der x-Achse eine
Fläche ein. Es müssen die Nullstellen beider Funktionen und ihr Schnittpunkt
ermittelt werden. Integralrechnung zusammenfassung pdf.fr. Das Gesamtintervall besteht aus zwei Teilintervallen, die
sich im Schnittpunkt "berühren"
Integralrechnung Zusammenfassung Pdf.Fr
Erklärung
Einleitung
Die Differential- und die Integralrechnung gehören logisch zusammen, denn das eine ist die Umkehrung des anderen. Wenn du die Integralrechnung verstehen möchtest, hilft es also sich zuerst mit
Ableitung der Potenzfunktion
zu beschäftigen. Wie die Integralrechnung und die Differentialrechnung zusammenhängen lässt sich am besten in einem Bild darstellen:
Durch die Ableitung der Ausgangsfunktion erhält man. Wenn man die Funktion integriert (oder aufleitet), erhält man eine Stammfunktion. Wir merken uns also folgendes:
Stammfunktionen werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet. Grundlagen der Integralrechnung. ist demnach eine Stammfunktion von. Nach der im obigen Bild beschriebenen Logik ist aber nicht nur eine Stammfunktion von, sondern auch eine Stammfunktion von. Um die Konvention mit den Großbuchstaben zu wahren, schreiben wir also
und damit wären wir auch schon bei der Definition der Stammfunktion. Stammfunktion
Eine Funktion ist eine Stammfunktion einer Funktion, wenn für alle gilt:
Die Aufgabe "bestimme eine Stammfunktion von " kann also auch folgendermaßen interpretiert werden: "Finde eine Funktion, die abgeleitet wieder der Ausgangsfunktion entspricht".
Integralrechnung Zusammenfassung Pdf Version
3x^2 \, \textrm{d}x - \int \! 4x^3 \, \textrm{d}x \\[5px] &= x^3 - x^4 + C \end{align*} $$ Partielle Integration Diese Integrationsregel besprechen wir ausführlich in dem Kapitel Partielle Integration. Integration durch Substitution Diese Integrationsregel besprechen wir ausführlich in dem Kapitel Integration durch Substitution. Besondere Regeln Das Integrieren von Funktionen, in denen sowohl im Zähler als auch im Nenner ein $x$ vorkommt, ist meistens sehr schwierig. Integralrechnung zusammenfassung pdf version. Liegt jedoch der hier erwähnte Spezialfall vor (Zähler ist die Ableitung des Nenners), so hilft uns diese Regel dabei, ohne große Rechenarbeit das unbestimmte Integral zu finden. Beispiel 9 $$ \int \! \frac{3x^2 - 4x^3}{x^3 - x^4} \, \textrm{d}x = \ln(|x^3 - x^4|) + C $$ Integrationsregeln vs. Ableitungsregeln Es ist wichtig, sich immer wieder klarzumachen, wie eng die Differential- und die Integralrechnung zusammenhängen. In der Differentialrechnung geht es darum, Funktionen abzuleiten, wohingegen man in der Integralrechnung Funktionen integriert (= aufleitet).
Integralrechnung Zusammenfassung Pdf Search
Vergesst also bitte nie das ans Ende des Integrals zu schreiben. Integrationsregeln
Bis jetzt haben wir uns viel mit der Theorie zur Integralrechnung beschäftigt. Aber wie wird ein Integral konkret berechnet? Dazu gibt es eine Reihe von Rechenregeln und Verfahren die man anwenden kann. Potenzregel
e-Funktion
sin-Funktion
cos-Funktion
Kehrwert
Faktorregel
Summenregel
Differenzenregel
Neben diesen Grundregeln gibt es ein Reihe an weiteren Methoden/Verfahren die dir in der Integralrechnung nützlich sein können:
Brauchst du einen guten Lernpartner? Komm in unseren Mathe-Intensivkurs! Integralrechnung zusammenfassung pdf search. Einige Grundintegrale
In diesem Artikel haben wir schon mehrmals den Bezug zwischen Ableitung und Integration hervorgehoben. Obwohl die beiden Verfahren Gemeinsamkeiten haben, lässt sich eines nicht von der Hand weisen: Ableiten ist eine Technik, Integration ist eine Kunst. Da es manchmal schwierig sein kann eine passende Stammfunktion zu finden, hier ein Reihe von Grundintegralen. Funktion
Integral
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:
Zeige jeweils, dass eine Stammfunktion von ist:,.,.,.
In diesem Kapitel besprechen wir die Integrationsregeln. Dabei handelt es sich um Regeln, die bei der Integration von Funktionen beachtet werden müssen. Einordnung In unserer Formelsammlung finden wir die unbestimmten Integrale einiger einfacher Funktionen. Für komplizierte Funktionen müssen wir zur Berechnung der unbestimmten Integrale die Integrationsregeln beachten. Potenzregel Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion. Beispiel 1 $$ \begin{align*} \int \! Integralrechnung - Zusammenfassung - Matheretter. x^3 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{3+1}x^{3+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{4}x^{4} + C \end{align*} $$ Beispiel 2 $$ \begin{align*} \int \! x^4 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{4+1}x^{4+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{5}x^{5} + C \end{align*} $$ Faktorregel Mithilfe der Faktorregel können wir den Integranden auseinanderziehen und dadurch die Berechnung vereinfachen. Beispiel 3 $$ \begin{align*} \int \! 4x \, \textrm{d}x &= 4 \int \! x \, \textrm{d}x \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C \\[5px] &= 2x^2 + C \end{align*} $$ Beispiel 4 $$ \begin{align*} \int \!