In der Ebene beschreibt beispielsweise der Graph einer Funktion eine Kurve, im dreidimensionalen Raum kann durch die Funktion eine Fläche beschrieben werden. Dies sind spezielle Parameterdarstellungen, wenn man die Funktionsvariablen als Parameter auffasst. Sie sind allerdings nicht zur Darstellung von Figuren wie Kreisen oder Kugeln geeignet, da sie jedem Punkt der -Achse oder der - -Ebene nur einen Punkt zuordnen können. Geradengleichung – Wikipedia. Mit der Funktion
kann nur ein Halbkreis dargestellt werden. Um einen vollen Kreis zu erhalten, muss ein weiterer Halbkreis hinzugefügt werden. Eine weitere Darstellungsmöglichkeit ist die implizite Beschreibung durch eine Gleichung der Koordinaten, beispielsweise. Der Einheitskreis lässt sich in dieser Form durch die Kreisgleichung
beschreiben. Diese Form eignet sich gut, um zu prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Kurve oder Ebene liegt, da lediglich geprüft werden muss, ob die Koordinaten die Gleichung erfüllen. Mit einer solchen impliziten Gleichung können nur Objekte beschrieben werden, deren Dimension um 1 geringer ist als die des Raumes, in dem sie beschrieben werden.
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Lineare Funktion Rechner
Der Online Rechner mit Rechenweg von Simplexy kannst du dir lineare Funktionen zeichnen lassen, Nullstellen berechnen, y-Achsenabschnitte berechnen und viel mehr. Eine Gerade aus zwei Punkten konstruieren
Es ist möglich eine Gerade und die dazu gehörige Geradengleichung aufzustellen wenn einem lediglich zwei Punkten im Koordinatensystem gegeben sind. Nehmen wir mal an dir sind der Punkt \(Q=(-2|-4)\) und der Punkt \(P(2|2)\) gegeben, wie erhält man daraus die Geradengleichung? Zunächst einmal eine Skizze:
Um auf die Gerade zu kommen die durch beide Punkte \(Q\) und \(P\) geht, brauchen wir die allgemeine Geradengleichung \(f(x)=m\cdot x+b\). Wir müssen also \(m\) und \(b\) ermitteln. Geradengleichung aus 2 punkten vektor en. Berechnung der Steigung:
Die Steigung erhältst du über die Formel \(m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\). Wobei \(y_Q\) die \(y\)-Koordinate des Punktes \(Q\) ist und \(y_P\) ist die \(y\)-Koordinate des Punktes \(p\). Das gleiche gilt natürlich im bezug auf \(x_Q\) und \(x_P\). Setzen wir mal unsere Werte in die Gleichung ein.
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Besondere Geraden
Manche Geraden haben eine besondere Lage im Koordinatensystem. Hier haben wir dir diese Geraden und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammengefasst. Ursprungsgeraden
Eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft, nennst du Ursprungsgerade. Sie hat immer die Form y=mx +0. Du kannst also einfach y=m x schreiben. Es gilt immer t=0. Ursprungsgerade
Konstante Funktionen
Eine konstante Funktion verläuft parallel zur x-Achse und hat die Form y= 0x+t. Du kannst also einfach y=t schreiben. Gerade durch zwei Punkte berechnen. Sie beschreibt eine waagerechte Gerade, bei der jeder x-Wert denselben y-Wert hat, nämlich y=t. Konstante Funktion
Senkrechte Geraden
Eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, kannst du nicht mit der allgemeinen Geradengleichung beschreiben. Ihre Steigung wäre unendlich. Die Gleichung einer Senkrechte hat immer die Form x=c. Senkrechte Gerade
Die Identität
Hier siehst du die Gerade, die man Identität nennt. Ihre Gleichung ist y=x. Sie ist eine besondere Ursprungsgerade, weil sie die Steigung m=1 hat.
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In der analytischen Geometrie werden Geraden mithilfe von Vektoren dargestellt. Dies gilt für die Ebene wie für den Raum. Die allgemeine Geradengleichung in Parameterform ist: Dabei ist p ⃗ \vec p der Ortsvektor zu einem Punkt P P auf der Geraden (dem Aufpunkt) und u ⃗ \vec u der Richtungsvektor, der auf der Geraden verläuft. Wenn man beispielsweise zwei Punkte P P und Q Q auf der Geraden gegeben hat, dann berechnet man den Richtungsvektor u ⃗ \vec u, indem man die zugehörigen Ortsvektoren p p und q q von einander subtrahiert: Geraden in der Ebene Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Gerade in der Ebene durch eine Gleichung zu beschreiben. Geradengleichung aus 2 punkten vektor 2. Hier werden die Parameterform (man nennt sie auch Punkt-Richtungs-Form) und die Normalenform erklärt. Parameterform (Punkt-Richtungs-Form) Die Parameterform ist von der Vorstellung her eine einfache Form. Man nimmt einen beliebigen Punkt P P, der auf der gesuchten Geraden g g liegt. Diesen Punkt nennt man Aufpunkt den Aufpunkt setzt man einen Vektor u ⃗ \vec u an, der in die Richtung der Geraden zeigt.
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Hauptform der Geradengleichung
Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.
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Punkt auf der Geraden, z.
Harri Deutsch Verlag, 24. Auflage 1989, ISBN 3-87144-492-8, S. 219
Helmuth Preckur: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Mentor Verlag (Mentor-Lernhilfe Band 50), München 1983, ISBNM3-580-64500-5, S. 72–85, 106–114
Anmerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ Der Parameter wird in der Literatur auch mit, oder bezeichnet. In Österreich schreibt man meist. ↑ Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler; mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 11., überarb. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1913-0, S. 75. ↑ Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler; mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 76. Lineare Funktion aus zwei Punkten berechnen inkl. Video und Rechner - Simplexy. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Geradengleichung. In: Serlo.