"Die Volksbank Bühl ist eine solide Bank, der die Menschen und Unternehmen in der Region vertrauen. Wir verzeichnen Stand Oktober 2020 ein Kreditvolumen von 652. 9 Millionen Euro und ein Kundeneinlagenvolumen von 970, 3 Millionen Euro. Gegenüber Trautmanns Amtsantritt 1991 haben sich diese Werte verdoppelt beziehungsweise verdreifacht", sagt Preiss, "All das ist Beleg für sein erfolgreiches Wirken, bei dem das Wohl der Volksbank Bühl sowie deren Kunden und Mitglieder immer im Vordergrund stand. " Weggefährten und Mitarbeiter sprechen Dank aus
Eine besondere Ehrung wurde Tilo Trautmann durch den Präsidenten des BWGV, Roman Glaser zuteil. "Als Mitglied und Vorsitzender des Aufsichtsrats haben Sie rund 30 Jahre lang zukunftsweisende Entscheidungen mit gefällt und umgesetzt. Diese Entscheidungen standen immer im Einklang der genossenschaftlichen Werte, für die sie sich unermüdlich einsetzten", sagte Glaser in seiner Ansprache. Er dankte dem Bühler Unternehmer im Namen des Baden-Württembergischen Genossenschaftsverbandes und überreichte ihm als Anerkennung für sein Wirken die höchste genossenschaftliche Auszeichnung: die Raiffeisen-Schulze-Delitzsch-Medaille mit Urkunde.
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Abschied nach 30 Jahren
Vielfach wurde der Aufsichtsratschef der Volksbank Bühl in der Aufsichtsratssitzung geehrt. Er hatte seit 39 Jahren deren Vorsitz inne und nach bei seinem Abschied Dank und Ehrungen von Mitarbeitern und Wegbegleitern entgegen. Roman Glaser, Tilo Trautmann, Claus Preiss
Foto: Michael Bode
Bühl. (red) Im Rahmen der letzten Aufsichtsratssitzung des Jahres verabschiedete die Volksbank Bühl ihren Aufsichtsratsvorsitzenden Tilo Trautmann. Fast 30 Jahre lang hat der Bühler Unternehmer die Geschicke des genossenschaftlichen Instituts mitgestaltet – zunächst als Aufsichtsratsmitglied, später als stellvertretender und erster Vorsitzender. Auch wenn die als großes Dankeschön geplante Feierstunde Pandemie-bedingt ausfallen musste, ließen es sich Vorstand, Aufsichtsratsmitglieder und auch der Präsident des Baden-Württembergischen Genossenschaftsverbandes (BWGV), Roman Glaser, nicht nehmen, Tilo Trautmann persönlich für seinen großen Einsatz zum Wohle der Volksbank Bühl zu danken.
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Ableitung der Exponentialfunktion
Es gilt
\begin{equation}
f(x) = e^{x} \rightarrow f'(x)=e^{x}
\end{equation}
Beweis
Der Beweis ist recht einfach. Man geht wieder von der Definition der Ableitung aus:
\begin{equation*}
f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}
\end{equation*}
Nutzt man die Potenzregeln $e^{x+h}=e^x\cdot e^h$ so ergibt sich:
f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^x\cdot e^h -e^x}{h} = e^x\lim_{h\rightarrow 0}\cdot \frac{e^h -1}{h}
Aus der nebenstehenden grafischen Komponente ergibt sich $\lim_{h\rightarrow
0}\cdot \frac{e^h -1}{h}=1$. Also
$$f'(e^x)=e^x$$
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Somit können wir nun \$a^x\$ ausklammern und, da es nicht von \$h\$ abhängt, vor den Limes ziehen, so dass man den Ausdruck
\$a^x*lim_{h->0} {a^h-1}/h\$
erhält. Nun verwenden wir einen kleinen "Trick": Wenn wir die Zahl \$1\$ durch \$a^0\$ ersetzen, bleibt der Ausdruck
\$a^x*lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$
übrig, wobei \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ nach der Definition der Ableitung nichts anderes ist, als die Ableitung von \$f(x)=a^x\$ an der Stelle 0, also \$f'(0)\$. Insgesamt haben wir als Ableitung von \$f(x)=a^x\$ den Ausdruck
\$f'(x)=a^x * f'(0)=f(x)*f'(0)\$. \$ox\$
Dieses Ergebnis ist nicht wirklich zufriedenstellend: da benötigt man für die Ableitung an der Stelle x die Ableitung der Funktion an der Stelle 0! Und genau diese Ableitung haben wir noch nicht! Deshalb sind wir hier noch nicht fertig und suchen einen anderen Weg: in der Herleitung kam gerade der Ausdruck \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ vor; können wir vielleicht eine Basis a so wählen, dass dieser Limes die Zahl 1 ergibt? Dazu folgender Ansatz:
\$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h=lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}\$
Anstatt \$h\$ gegen 0 gehen zu lassen, kann man ebenso gut das \$h\$ durch \$1/n\$ ersetzen, wenn man das \$n\$ gegen \$oo\$ laufen lässt.
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> Ableitung der e-Funktion (Herleitung und Beweis) - YouTube
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Die Tatsache, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}=e^a\$ ist, werden wir für die Herleitung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verwenden. 3. Beispiel zur Ableitung der e-Funktion
Aufgabe
Leite \$f(x)=e^{2x}\$ ab. \$f'(x)=e^{2x} * 2\$
Die Multiplikation mit der 2 kommt durch die Anwendung der Kettenregel zustande. Hier ist \$e^x\$ die äußere Funktion und \$2x\$ die innere Funktion, so dass die Kettenregel hier zur Anwendung kommt und man mit der Ableitung von \$2x\$ nachdifferenzieren muss. 4. Graph der e-Funktion
Der Graph von \$e^x\$ geht bei 1 durch \$e=2, 71828\$ und bei 0 durch \$e^0=1\$. Zusätzlich sind noch die Graphen von \$e^{-x}\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der y-Achse) und \$-e^x\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der x-Achse) eingezeichnet. Beachte, dass sich der Graph der normalen e-Funktion im negativen Bereich der x-Achse beliebig annähert, diese aber nie berührt, denn \$e^x>0\$ für alle \$x in RR\$.
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Sie x ∈ ℝ beliebig. Dann gilt exp(x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 4! + x 5 5! + … = ∑ n x n n! Behandeln wir diese unendliche Reihe wie ein Polynom, so erhalten wir exp′(x) = 0 + 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 4! + … = ∑ n ≥ 1 n x n − 1 n! = ∑ n ≥ 1 x n − 1 (n − 1)! = ∑ n x n n! = exp(x). Man kann zeigen, dass gliedweises Differenzieren dieser Art korrekt ist. Die Summanden der Exponentialreihe verschieben sich beim Ableiten um eine Position nach links, sodass die Reihe reproduziert wird. Diese bemerkenswerte Eigenschaft lässt sich auch verwenden, um die Exponentialreihe zu motivieren: Sie ist so gemacht, dass das gliedweise Differenzieren die Reihe unverändert lässt. Die Fakultäten im Nenner gleichen die Faktoren aus, die beim Differenzieren der Monome x n entstehen. Die wohl besten Motivationen der Exponentialfunktion exp benötigen die Differentialrechnung − was ein didaktisches Problem darstellt, wenn die Funktion vor der Differentialrechnung eingeführt wird. Mit Hilfe der Ableitungsregeln können wir nun zeigen: Satz (Charakterisierung der Exponentialfunktion) Die Exponentialfunktion exp: ℝ → ℝ (zur Basis e = exp(1)) ist die eindeutige differenzierbare Funktion f: ℝ → ℝ mit den Eigenschaften f ′ = f, f (0) = 1.
Die nach ihrem Entdecker, dem britischen Mathematiker Benjamin Gompertz, benannte Gompertz-Funktion ist eine asymmetrische Sättigungsfunktion, die sich im Gegensatz zur logistischen Funktion dadurch auszeichnet, dass sie sich ihrer rechten bzw. oberen Asymptote gemächlicher annähert als ihrer linken bzw. unteren, der Graph ihrer ersten Ableitung also ausgehend von deren Maximum bei nach rechts hin langsamer abfällt als nach links. Die Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die allgemeine Formel der Gompertz-Funktion lautet:
ist die obere Asymptote, da wegen. sind positive Zahlen
ist die -Verschiebung
ist das Steigungsmaß [1]
ist die Eulersche Zahl ()
e·b·c die Wachstumsrate [2]
Variationen der Variablen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Variationen von
Anwendung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Gompertz-Funktion findet in der Biologie (z. B. zur Beschreibung des Wachstums von Tumoren) und in den Wirtschaftswissenschaften (z. B. in der empirischen Trendforschung) Anwendung.