Addiert man die Wahrscheinlichkeiten P ( A) und P ( B) zweier Ereignisse A und B, so erhält man nach dem 3. Axiom der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Additivität) die Wahrscheinlichkeit P ( A ∪ B), sofern A und B unvereinbar sind, d. h. Fehler 1. Art, Fehler 2. Art | Fehler beim Testen von Hypothesen | MatheGuru. wenn A ∩ B = ∅ gilt. Wie kann aber die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ∪ B berechnet werden, wenn die Bedingung A ∩ B = ∅ nicht erfüllt ist? Die Vierfeldertafel bzw. das VENN-Diagramm legen die Vermutung nahe, dass von P ( A) + P ( B) die Wahrscheinlichkeit P ( A ∩ B) subtrahiert werden muss: Additionssatz: Für zwei beliebige Ereignisse A, B ( m i t A, B ⊆ Ω) gilt: P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) Beweis: Die grundlegende Beweisidee besteht darin, das Ereignis A ∪ B in zwei unvereinbare Ereignisse zu zerlegen, sodass auf diese das Axiom der Additivität für Wahrscheinlichkeiten angewandt werden kann. Durch eine Zerlegung von A ∪ B in zwei unvereinbare Ereignisse ergibt sich P ( A ∪ B) = P ( A ∪ ( A ¯ ∩ B)) bzw. (nach Axiom 3) P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( A ¯ ∩ B).
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Thema: Wahrscheinlichkeit – Statistik: Ein Schlüsselkonzept
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Für unvereinbare Ereignisse reduziert sich der Additionssatz auf die Additivität (Axiom 3) für Wahrscheinlichkeiten: P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) f ü r A ∩ B = ∅ P ( A ∪ B ∪ C) = P ( A) + P ( B) + P ( C) f ü r A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = ∅ P ( A) = P ( { e 1}) + P ( { e 2}) +... + P ( { e n}) f ü r A = { e 1; e 2;... ; e n} Für unabhängige Ereignisse gilt: P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A) ⋅ P ( B)
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Wichtige Inhalte in diesem Video
Hier findest du eine Anworten auf deine Fragen zum Thema stochastische Unabhängigkeit. Dieser Artikel behandelt die Unabhängigkeit von Ereignissen anhand eines anschaulichen Beispiels. Außerdem berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten mit der dazugehörigen Formel. Unser Video
zum Thema erklärt dir kurz und knapp alles was du zur Unabhängigkeit von Ereignissen wissen solltest, ohne dass du diesen Artikel lesen musst! Unabhängigkeit von Ereigissen
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Die stochastische Unabhängikeit von Ereignissen impliziert, dass das Eintreten des einen keine Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses hat. Man nennt das Ereignis A stochastisch unabhängig von dem Ereignis B, wenn die Wahrscheilichkeit P(A) nicht davon Beeinflusst wird. Dabei ist egal, ob das zweite Ereignis eintritt oder nicht. Bernoulli Experiment • Formel von Bernoulli, Wahrscheinlichkeit · [mit Video]. direkt ins Video springen
Unabhängigkeit von Ereignissen
Zum Beispiel hängt die Wahrscheinlichkeit, dass jemand blaue Augen hat, nicht mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, dass diese Person die Klausur in Statistik besteht.
Jetzt kannst du dir nochmal anschauen, was passiert, wenn du ein Bernoulli Experiment mehrmals hintereinander durchführst. Von Bernoulli zur Binomialverteilung im Video zur Stelle im Video springen (02:52)
Führst du ein Bernoulli-Experiment mehrmals durch, hast du eine Bernoulli Kette. Schau dir dafür nochmal das Beispiel mit dem Würfel an. Deine Ereignisse sind bei diesem Versuch: "6 würfeln" oder "keine 6 würfeln". Aber was ist, wenn du zweimal oder sogar noch öfter würfelst? Dann kannst du ein Baumdiagramm
zeichnen:
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Bernoulli Kette
Stell dir jetzt vor, du würfelst 4 mal. Dabei willst 2 mal eine 6 würfeln und 2 mal keine 6. Wie wahrscheinlich ist das? Dafür musst du zählen, wie viele Äste mit 2 mal 6 und 2 mal keine 6 vorkommen. Das sind genau 6 Äste! Schlüsselkonzept wahrscheinlichkeit statistiken. Die Anzahl der Äste kannst du aber auch mit dem Binomialkoeffizienten
bestimmen:
Als Nächstes brauchst du die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg. Dafür musst du einfach alle Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, an denen du vorbeiläufst.
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