Die Regel besagt, dass die Ableitung der 1. Funktion f'(x) mal der 2. Funktion g(x) plus die 1. Funktion f(x) mal der Ableitung der 2. Funktion g'(x) zu summieren sind
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Quotientenregel beim Differenzieren
Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn im Zähler die Funktion f(x) und im Nenner die Funktion g(x) stehen. Innere mal äußere ableitung. Die Regel besagt, dass vom Produkt aus der Ableitung des Zählers f'(x) mit der Nennerfunktion g(x) das Produkt aus der Zählerfunktion mal der abgeleiteten Nennerfunktion zu bilden ist und diese Differenz ist dann durch das Quadrat der Nennerfunktion zu dividieren. Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Reziprokenregel
Die Reziprokenregel ist eine Abkürzung der Quotientenregel, die dann zur Anwendung kommt, wenn die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion f(x) ist.
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Äußere Ableitung - Ableitung Einfach Erklärt!
10. 03. 2014, 20:14
123-michi19
Auf diesen Beitrag antworten »
Innere und äußere Funktion bei der Kettenregel
Meine Frage:
Hi zusammmen,
woran erkenne ich denn bei der Kettenregel die innere und die äußere Funktion (gerne auch anhand eines Beispieles erklärt)
Besten Dank
Meine Ideen:
Leider keine
10. 2014, 20:23
kgV
Die äußere Funktion heißt nicht umsonst "äußere" Funktion
Sie ist die Funktion, die auf eine andere Funktion angewendet wird. Ableitung Kettenregel? (Schule, Mathe, Mathematik). Du suchst also immer eine Funktion, die um ein oder ein herumgepackt ist, deswegen ist sie auch meist außerhalb einer Klammer zu finden. Generell entsteht so etwas bei der Verkettung von Funktionen (deswegen auch "Kettenregel" beim Ableiten), wenn also zwei Funktionen nacheinander ausgeführt werden, also zuerst und dann. Die äußere Funktion ist immer die, die später ausgeführt wird
Was wäre denn die äußere Funktion bei??? Lg
10. 2014, 20:25
Namenloser324
Eine Verkettung liegt ja dann vor, wenn die Funktion die einem vorliegt durch das Einsetzen einer Funktion in eine andere erzeugt wird bzw. werden kann.
2014, 22:21
Nur noch eine kurze Verständnisfrage bevor ich das bearbeite:
Was genau in der Formel ist jetzt g', h(x) und h'
Ich kann jetzt die äußere und innere Funktion gerade nicht so recht zuordnen? 10. 2014, 22:24
g ist die äußere Funktion, h ist die innere Funktion. g' und h' sind ihre jeweiligen Ableitungen. Es gilt also und. Du brauchst aber theoretisch nicht alles neu zu machen. Du hast ja nur den einen kleinen Fehler, einmal ein x statt der Funktion h(x) geschrieben zu haben (was dich aber durchaus nicht davon abhalten soll, es dennoch zu tun - Übung macht den Meister)
10. 2014, 22:29
Ok, dann mal auf ein Neues:-)
10. 2014, 22:32
sieht nicht mal so schlecht aus
Nur: wo kommt dieses zweite her? Ableitung: Kettenregel. Das taucht in der "Formel" nicht auf... Sonst aber sehr gut
10. 2014, 22:34
Oh, das hat sich eingeschlichen, habe es korrigiert:-)
10. 2014, 22:36
Das stimmt jetzt
Wird das Prinzip der Kettenregel langsam klarer? 10. 2014, 22:37
Aber hallo
Da suche ich mir morgen noch ein paar Übungen dazu raus und dann läuft das Thema
Weißt du zufällig eine Website, wo ich Übungen zu Ableitungen von E-Funktionen herbekomme?
Ableitung Kettenregel? (Schule, Mathe, Mathematik)
Ich muss eine Hausarbeit über das Thema der speziellen Kurvenanpassung durch Spline Interpolation anfertigen. Ich verstehe das Thema im Großen und Ganze, nur hätte ich zu ein paar Begriffen ein paar Verständnisfragen. Ist ein Polynom eine Summe aus der Funkion P(x)=ai x^i? Von i=0 bis n, dabei n der größtmöglichste Grad ist. Also wenn n zB 2 wäre, sähe die Funktion doch wie folgt aus: P(x)=a x²+b*x+c. Ein Spline ist, sofern ich es richtig verstanden habe, einfach nur eine Funktion die sich, stückweise, aus den Polynomen zusammensetzt? Ist es dann eine Summe an Funktionen oder wie wird das berechnet? Innere und äußere ableitung. Die Interpolation ist doch die Aufstellung einer Funktionsgleichung auf Grundlage von bekannten Werten? Und im Zusammenhang mit den Splines wäre eine Spline-Interpolation die Aufstellung einer Funktionsgleichung von Splines? Bei dem kubischen Spline, denke ich, handelt es sich um einen Spline dritten Grades mit einer glatten Kurve, sodass die Funktion zweimal stetig differenzierbar ist. Also, dass die Funktion differenzierbar ist, die erste Ableitung auch differenzierbar ist und die zweite Ableitung stetig ist oder wenn die Funktion und die erste Ableitung differenzierbar und stetig sind und dazu die zweite Ableitung stetig ist oder wenn alle Funktionen stetig und differenzierbar sind, gilt die Grundfunktion als zweimal stetig differenzierbar?
Die Regel besagt, dass der negative Quotient aus der abgeleiteten Funktion f'(x) mit dem Quadrat der Funktion f 2 (x) zu bilden ist. \(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\\ - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \end{array}\)
Steht im Zähler nicht "1" sondern eine Konstante c, dann verhält sich diese gemäß der Faktorregel, d. h. sie bleibt beim Differenzieren unverändert. Äußere Ableitung - Ableitung einfach erklärt!. \(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Kettenregel beim Differenzieren
Die Kettenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen v(x) und u(x) mit einander verkettet sind. "Verkettet" bedeutet, dass sich die Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion v(x) und einer inneren Funktion u(x) zusammensetzt. Die Regel besagt, dass man zuerst die äußere Funktion selbst ableitet v'(x) und dann mit deren "innerer Ableitung" u'(x) multipliziert. \(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)
Allgemeine Kettenregel
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Ableitung: Kettenregel
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Die Ableitung f ' ( x) kannst du dir mithilfe des Differentialquotienten herleiten. Damit du dafür gut vorbereitet bist, solltest du die Inhalte der Artikel Differentialquotient und Potenzen beherrschen. Die Ableitung f ' ( x) ist mithilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert. f ' ( x) = lim h → 0 f ( x + h) - f ( x) h Setzt du nun die allgemeine Exponentialfunktion ein, erhältst du folgenden Ausdruck. f ' ( x) = lim h → 0 a x + h - a x h An dieser Stelle kannst du die Rechenregeln für Potenzen anwenden. Zur Erinnerung: x a + b = x a · x b Daraus ergibt sich Folgendes: f ' ( x) = lim h → 0 a x · a h - a x h Nun kannst du a x ausklammern und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden. f ' ( x) = lim h → 0 a x · a h - a x h = lim h → 0 a x · ( a h - 1) h = a x · lim h → 0 a h - 1 h Jetzt müsstest du für den Ausdruck lim h → 0 a h - 1 h noch den Grenzwert bilden, der einer Konstante entspricht. Da es an dieser Stelle aber zu weit führen würde, wird dir dieser Wert vorgegeben. lim h → 0 a h - 1 h = ln ( a) Damit erhältst du folgende Ableitung f ' ( x) für die allgemeine Exponentialfunktion: f ' ( x) = a x · lim h → 0 a h - 1 h = a x · ln ( a) Reine e-Funktion ableiten Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, bei der die Basis a der Eulerschen Zahl e entspricht.
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