In einem - dimensionalen Raum ist eine Familie aus mehr als Vektoren immer linear abhängig (siehe Schranken-Lemma). Ermittlung mittels Determinante [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hat man Vektoren eines -dimensionalen Vektorraums als Zeilen- oder Spaltenvektoren bzgl. einer festen Basis gegeben, so kann man deren lineare Unabhängigkeit dadurch prüfen, dass man diese Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu einer -Matrix zusammenfasst und dann deren Determinante ausrechnet. Wie kann ich prüfen, ob folgende Vektoren eine Basis von R^3 bilden? | Mathelounge. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Basis eines Vektorraums [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine wichtige Rolle spielt das Konzept der linear unabhängigen Vektoren bei der Definition beziehungsweise beim Umgang mit Vektorraumbasen. Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Basen erlauben es, insbesondere bei endlichdimensionalen Vektorräumen mit Koordinaten zu rechnen. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
und sind linear unabhängig und definieren die Ebene P., und sind linear abhängig, weil sie in derselben Ebene liegen.
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Dann gilt aber auch
und daraus folgt, dass für alle. Funktionen als Vektoren [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei der Vektorraum aller Funktionen. Die beiden Funktionen und in sind linear unabhängig. Beweis: Es seien und es gelte
für alle. Leitet man diese Gleichung nach ab, dann erhält man eine zweite Gleichung
Indem man von der zweiten Gleichung die erste subtrahiert, erhält man
Da diese Gleichung für alle und damit insbesondere auch für gelten muss, folgt daraus durch Einsetzen von, dass sein muss. Setzt man das so berechnete wieder in die erste Gleichung ein, dann ergibt sich
Daraus folgt wieder, dass (für) sein muss. Da die erste Gleichung nur für und lösbar ist, sind die beiden Funktionen und linear unabhängig. Reihen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei der Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen auf dem offenen Einheitsintervall. Lineare Abhängigkeit bei Vektoren | Mathelounge. Dann gilt zwar
aber dennoch sind linear unabhängig. Linearkombinationen aus Potenzen von sind nämlich nur Polynome und keine allgemeinen Potenzreihen, insbesondere also in der Nähe von 1 beschränkt, so dass sich nicht als Linearkombination von Potenzen darstellen lässt.
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Hallo, ich bin selbs Schülerin, aber habe momentan das selbe Thema und verstehe es auch. Also.. du hast z. B. den Vektor a= (1/2/3) und den Vektor b=(4/5/6). Du nimmst dir den ersten Vektor a und den multiplizierst du mit einer Unbekannten z. B x, y oder t usw. Du multiplizierst also Vektor a mit eienr Unbekannten und das muss Vektor b ergeben. D. h. Du machst folgendes: (1/2/3) * t = (4/5/6) Stell dann 3 Gelcihungen auf 1. 1 * t = 4 Teile dann durch 1 t = 4 2. 2 * t = 5. Lineare unabhängigkeit von 3 vektoren prüfen for sale. Teile dann durch 2 t = 2, 5 3. 3 * t = 6. Teile dann durch 3 t = 2 Wie du siehst kommen für t überall unterschiedliche Ergebnisse raus (einmal 4, einmal 2, 5 und einmal 2) Wenn du unterschiedliche Ergebnisse hast, sind die Vektoren linear unabhängig Hoffe ich konnte dir helfen:)
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Wenn die Vektoren linear abhängig sind, gibt es unendlich viele Lösungen, darunter auch für
mit. Dies ist also nur ein alternativer Spezialfall. Was in der Schule vielleicht weggelassen wird:
Mit der allgemeinen Gleichung kannst Du jetzt überprüfen, ob ein einzelner Vektor linear abhängig ist.
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1
du musst nur zeigen, dass die vektoren über $\mathbb Q$ keine vielfachen voneinander sind, und der grund dafür ist, dass die koeffizienten $a, b, c$ die du wählen müsstest allesamt nicht in $\mathbb Q$ liegen. ─
zest
13. 11. 2021 um 03:38
64 Aufrufe
Aufgabe: Für welche x ∈ ℝ sind die Vektoren \( \begin{pmatrix} x\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\x\\5 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\6\\2 \end{pmatrix} \) linear abhängig. Geben Sie die Menge der Lösungen an: x 1, x 2,.... = Hinweis: Geben Sie die Mengenklammern der Lösungsmengen an. Lineare unabhängigkeit von 3 vektoren prüfen in online. Nicht ganzzahlige Werte sind exakt (nicht gerundet) als Dez-Zahl der Form 1, 5 oder Bruck 3/2 anzugeben. Problem/Ansatz: Das Thema der linearen Abhängigkeit fällt mir etwas schwer nachzuvollziehen. Vielleicht kann mir jemand anhand des Beispiels die Herangehensweise näherbringen. Gefragt
14 Feb
von
1 Antwort
Hallo, bilde die Determinante und setze sie gleich null. D=x•(2x-30)=0 → x=0 oder x=15:-)
Beantwortet
MontyPython
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