F muss aber sogar differenzierbar sein. Deswegen verschieben wir den letzten Teil nach oben (die Ableitung bleibt ja dann dieselbe): \(F(x)=c+\begin{cases} \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 &, x\leq 0 \\ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 &, 0< x \leq 1 \\ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3} &, 1< x \end{cases}\). Diese Funktion ist überall differenzierbar, und wenn man sie ableitet, erhält man f (das ist ja eigentlich klar, außer an den Stellen 0 und 1, da müsste man die Ableitung nochmal per Hand mithilfe des Differentialquotienten überprüfen, ob da wirklich f(0) bzw. Stammfunktionen zu einer Betragsfunktion - OnlineMathe - das mathe-forum. f(1) rauskommen). Und so sieht die Stammfunktion aus (hier ist c=0):
Gast
- Stammfunktion von betrag x games
- Stammfunktion von betrag x p
Stammfunktion Von Betrag X Games
Wie kannst du dann mithilfe der Definition des Betrags vereinfachen? 23. 2010, 20:55
ich weiß es wirklich nicht! -x^2 + x? 23. 2010, 21:01
Besser als die Frage, ob das richtig ist, ist die Frage: Wie kommst du drauf? Raten wollen wir hier ja nicht. Du solltest also bei Unklarheiten begründen, wie du darauf kommst. So schwer ist es ja auch nicht. Du musst hier wortwörtlich die Definition des Betrags anwenden. Das Argument ist negativ, also kommt ein Minus davor. Ist doch eigentlich ganz einfach, oder? Kurzum: Ja, dieses Ergebnis stimmt für [0, 1]. Ich hoffe, du weißt - spätestens jetzt - auch warum. Wie sieht der Integrand nun in den anderen Intervallen aus und was sind jeweils Stammfkt. davon? 23. 2010, 21:05
Naja, das habe ich mir ja gedacht
-(x^2-x)=-x^2 +x
-> F(x)= -1/3*x^3 + 1/2 x^2
da bei den anderen beiden die arguemte positiv sind nach deiner zeichung, gilt da einfach x^2-x und damit
F(X)= 1/3x^3 - 1/2x^2
23. 2010, 21:20
Korrekt! Stammfunktion von Betragsfunktion g(x):= | f'(x) - f(x) | | Mathelounge. Also haben wir soweit mal
Laut Aufgabe sollst du nun noch eine "allgemeingültige Funktion" finden.
Stammfunktion Von Betrag X P
im Video zur Stelle im Video springen (02:03)
Der Grenzwert des Differentialquotienten existiert genau dann, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen:
Das hilft dir auch, wenn du die Differenzierbarkeit einer Funktion widerlegen willst. Schau dir dafür mal die Betragsfunktion an der Stelle an:
Wenn du den linksseitigen Grenzwert des Differentialquotienten berechnest, verwendest du, weil für deine Funktion fällt:
Betragsfunktion
Das setzt du dann alles in deine Formel ein:
Für steigt die Funktion aber mit und du erhältst den rechtsseitigen Grenzwert:
Das ist aber ein Widerspruch! Stammfunktion eines Betrags. Die Betragsfunktion ist also bei Null nicht differenzierbar. Das kannst du auch gut an dem Knick bei der Stelle sehen. Die Betragsfunktion ist hier aber trotzdem stetig! Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Du solltest wissen, dass eine Funktion, die an der Stelle x 0 differenzierbar ist, dort auch stetig
sein muss. Andersrum gilt dann aber auch: Wenn sie nicht stetig ist, kann f auch nicht differenzierbar sein.
Beim Ermitteln unbestimmter Integrale darf die Integrationskonstanten nicht einfach weggelassen werden, da dies zu Trugschlüssen führen kann. Beispiel Schreibt man ∫ sin x ⋅ cos x d x = 1 2 sin 2 x ( d a d sin 2 x d x = 2 sin x ⋅ cos x) b z w. Stammfunktion von betrag x p. ∫ sin x ⋅ cos x d x = − 1 2 cos 2 x ( d a d cos 2 x d x = − 2 sin x ⋅ cos x) so ergäbe sich die falsche Aussage sin 2 x = − cos 2 x b z w. sin 2 x + cos 2 x = 0.