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Bei der Definition des Peripheriewinkels haben wir diese in der nebenstehenden Abbildung etwas lax beide mit β \beta bezeichnet ohne uns groß Gedanken darum zu machen, ob sie wirklich gleichgroß sind. Dies ist aber genau die Aussage des Peripheriewinkelsatzes. Satz 5513B (Peripheriwinkelsatz/ Umfangswinkelsatz)
Alle Peripheriwinkel (in der gleichen Halbebene) über dem gleichen Kreisbogen sind gleichgroß
Beweis
Unter Zuhilfenahme des Zentri-Peripherie-Winkelsatzes ergibt sich die Behauptung sofort. Denn die Winkel ∠ A C B \angle ACB und ∠ A D B \angle ADB sind beide Peripheriwinkel zum gleichen Zentriwinkel α \alpha. Sind also beide halb so groß wie α \alpha und damit untereinander gleich. Arbeitsblatt: Theorie: Zentri- und Peripheriewinkel - Geometrie - Winkel. □ \qed
Den Peripheriewinkelsatz kann man auch umkehren und damit zur Charakterisierung eines Kreises verwenden. Satz A7RC (Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes)
Über einer Strecke A B ‾ \ovl {AB} werden die Punkte C C und D D so gewählt, dass sie in einer Halbebene liegen und ∠ A C B = ∠ A D B \angle ACB=\angle ADB.
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Die Bezeichnung der Winkel entnehme man der Zeichnung. Dabei ist klar, dass die jeweils mit α \alpha und β \beta bezeichneten Winkel gleich groß sind, da sie jeweils einer gleichlangen Seite (der Länge r r) gegenüberliegen. Damit können wir ausgehend vom Winkel α \alpha schrittweise die anderen Winkel berechnen. Nach dem Innenwinkelsatz gilt im Dreieck Δ A M C \Delta AMC: 2 α + γ = 180 ° 2\alpha+\gamma=180°, also γ = 180 ° − 2 α \gamma=180°-2\alpha. Zentriwinkel peripheriewinkel aufgaben von orphanet deutschland. δ \delta und γ \gamma ergänzen sich zu 180° also ist
δ = 2 α \delta=2\alpha. Damit ist der Satz auch gezeigt wenn B ‾ C \overline BC die Basisstrecke ist und δ \delta der Zentriwinkel und α \alpha der Peripheriwinkel. Im Dreieck Δ B C M \Delta BCM gilt somit 2 α + 2 β = 180 ° 2\alpha+2\beta=180° also β = 90 ° − α \beta=90°-\alpha. Damit ist aber, unabhängig vom konkreten Wert von α \alpha, die Summe α + β \alpha+\beta immer 90° groß. Fall 2
Dieser Fall ist in nebenstehender Abbildung veranschaulicht. Durch eine ähnliche Schlußweise wie in Fall 1 erhalten wir: Die beiden α \alpha -Winkel sind wirklich gleich groß, da sie gleichlangen Seiten gegenüberliegen (Länge ist der Radius).
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Idee des Beweises eines Spezialfalls
Um welchen Spezialfall handelt es sich? Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten? Der Zentri-Peripheriewinkelsatz
Definition (Zentriwinkel, Mittelpunktswinkel)
Ist M der Mittelpunkt des Kreises k, so bezeichnet man einen Winkel als den zughörigen Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel). Definition (Peripheriewinkel)
Sei k ein Kreis und alpha ein Winkel. Alpha ist Peripheriewinkel von k, wenn sein Scheitelpunkt auf dem Kreis k liegt und seine beiden Schenkeln den Kreis k in jeweils einem weiteren Punkt schneiden. Satz:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz)
(abgeändert) Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß, wie sein zugehöriger Zentriwinkel. Kommentar -- *m. g. * 20:59, 23. Jul. 2010 (UTC): Vorsicht mit den Artikeln: Wie viele Zentriwinkel sind einem Peripheriewinkel zugehörig? In der Definition war es korrekt. Zentriwinkel peripheriewinkel aufgaben referent in m. Beweis
Ich hab mir Gedanken zu den Fallunterscheidungen gemacht, komme aber irgendwie nicht weiter. Ich stelle meine Notizen mal hier ein, kann mir jemand weiter helfen?
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Somit erhalten wir: 2 γ + 2 δ = 180 ° − 2 β 2\gamma+2\delta=180°-2\beta
Setzen wir dies in die erste Gleichung ein gilt: α + 180 ° − 2 β = 180 ° \alpha +180°-2\beta=180°, also die Behauptung α = 2 β \alpha=2\beta. Damit hätten wir den Satz in Gänze bewiesen. □ \qed
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis. Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Aufgabe: Berechnen sie den Winkel ε mit Hilfe der Winkelrelationen (Zentriwinkel<>Peripheriewinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Eigenschaften von Gleichseitigen/Rechtwinkligen/Gleichschenkligen Dreiecken) Problem/Ansatz: Ich habe die Lösung geometrisch hergeleitet und komme auf einen Winkel von 54° für Epsilon. Dies stimmt überein mit der Lösung welche im Buch aufgeführt ist. Jedoch fehlt mir irgendwie ein Ansatz wie ich mathematisch auf diese Lösung komme. Ich hab schon diverse Hilfslinien eingezeichnet in der Hoffnung irgendwo etwas wie ein gleichseitiges Dreieck zu finden von wo ich einen Starpunkt finden könnte, also einen definierten Winkel auf dem ich aufbauen könnte. Aber ich finde einfach nichts. Peripheriewinkelsatz - Ma::Thema::tik. PS. Eigentlich wollte ich Bilder hochladen von der Aufgabe und meinen Versuchen, aber Imgur wird geblockt. Kann mir jemand sagen wie ich die Bilder nachreichen kann? Gefragt
7 Jan 2021
von
Hallo Werner, wie kommst du auf α=180/5? Ja, es passt $$ε_1=α+β=36+18=54°$$ (rechtes ε ( Aussenwinkel)), was mir aber fehlt ist das linke ε, doch du hast natürlich recht, denn $$2ε_2+2β+α=180$$$$2ε_2+36+36=180$$$$ε_2=54°$$ Ich weiß nicht warum, doch das fehlte mir.