3. Ebenen im Raum
Neben Geraden existieren Ebenen als weitere Objekte der dreidimensionalen
Geometrie. Grundstzlich knnen wir Ebenen nur in einem begrenztem Bereich
skizzieren. Jedoch handelt es sich dabei um ein unbegrenztes "flaches"
zweidimensionales Objekt im \(R^3\). Ebenen im raum einführung se. In der folgenden Einheit werden wir
schwerpunktmig unterschiedliche Darstellungsformen von
Ebenen kennenlernen:
Parameterform einer Ebene mit Hilfe von
Aufpunkt und
Richtungsvektoren
Normalenform einer Ebene mit Hilfe von
Aufpunkt und Normalenvektor
Koordinatenform als logische Entwicklung aus der Normalenform
Hesse'sche Normalenform zur
Abstandsberechnung
Immer wieder werden wir parallel zur Entwicklung der verschiedenen
Ebenenformen, die Lage von Punkten und
Geraden zur jeweiligen Ebene untersuchen. Grundlegende Werkzeuge
Dazu bentigen insbesondere folgende mathematischen Werkzeuge mit
Berechnung und Deutung der Ergebnisse:
Vektor zwischen zwei Punkten und dessen Betrag
skalare Multiplikation (Vielfache von Vektoren)
Skalarprodukt
Kreuzprodukt
Punktprobe
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Teil I –
Begriffe zur Parameterform der Ebenengleichung
Teil II –
Beispiele zur Parameterform der Ebenengleichung
Teil III –
Begriffe zur Vektordarstellung der Ebenengleichung
Teil IV –
Begriffe zur Koordinatendarstellung der Ebenengleichung
Teil V –
Begriffe zur Hesse' schen Normalenform der Ebenengleichung
2. Gegenseitige Lage von Ebenen
Parallelität von Ebenen
Bestimmung der Schnittgeraden
Abwandlungen zur Bestimmung der Schnittgeraden
Prüfen, ob zwei Ebenen parallel oder identisch sind
(Gegenseitige Lage von Ebenen)
3. Geraden und Ebenen im Raum - LEARNZEPT®. Gegenseitige Lage von Geraden & Ebenen
Gerade parallel zu Ebene
Gerade nicht parallel zu Ebene
Wiederholung
(Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 1)
(Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 2)
(Geraden und Ebenen im Raum: Zusammenfassung)
Ebenen Im Raum Einführung Se
Es gibt immer viele gleichwertige Punkt-Richtungsformen, um eine Ebene darzustellen. Das folgende Beispiel zeigt einige typische Anwendungen. Beispiel 10. 9 Der Aufpunktvektor a → = ( 0 1 0) und die Richtungsvektoren u → = ( 1 0 0), v → = ( 0 0 1) ergeben eine Ebene E: r → = a → + λ u → + μ v → = ( 0 1 0) + λ ( 1 0 0) + μ ( 0 0 1); λ, μ ∈ ℝ in Parameterform, die in der Höhe 1 parallel zur x z -Ebene im Koordinatensystem liegt: (Diese Abbildung erscheint in Kürze. ) Die oben angegebene Parameterform für E ist nicht die einzig mögliche. Jeder andere Punkt in E ist ebenfalls als Aufpunkt möglich. Zum Beispiel liegt der Punkt, welcher durch den Ortsvektor a → ' = ( 1 1 1) gegeben ist, in E, denn es gilt für λ = μ = 1: ( 1 1 1) = ( 0 1 0) + 1 · ( 1 0 0) + 1 · ( 0 0 1). Ebenen im Raum - LEARNZEPT®. Dieser kann als Aufpunktvektor verwendet werden. Als andere Richtungsvektoren können alle Vektoren verwendet werden, die zu u → und v → komplanar, zueinander aber nicht kollinear sind, zum Beispiel u → ' = ( 1 0 1) = 1 · ( 1 0 0) + 1 · ( 0 0 1) und v → ' = ( 1 0 - 1) = 1 · ( 1 0 0) - 1 · ( 0 0 1).
Ebenen Im Raum Einführung Und
Betrachtet alle Punkte, die ihr mit diesem Vorgehen (mit diesen Vektoren) ermitteln könnt. Welche Gemeinsamkeiten der Punkte lassen sich feststellen? Angaben zu den Urhebern und Lizenzbedingungen der einzelnen Bestandteile dieses Dokuments finden Sie unter Name: Einführung: Ebenengleichung in Parameterform 02. 2019 3 Befestigung des Sonnensegels - Teil 2 Ausgehend von Punkt A soll das Sonnensegel durch Befestigung an Punkt B = (0, 1, 3) aufgespannt werden. Berechnet den Spannvektor von A zu B! Das Sonnensegel spannt jetzt eine Fläche auf. Ist diese Fläche damit eindeutig im Raum positioniert? Ebenen im raum einführung in plattformismus und. Was wird dafür benötigt? Begründet! 4 Befestigung des Sonnensegels - Teil 3 Herr Sonnenschein hatte das Sonnensegel mit Hilfe einer weiteren Halterung (Punkt C) an der rechten Wand (mit dem Fenster; x 2 x 3 -Ebene) in 2, 5m Höhe und 4m Entfernung von der x 3 -Achse befestigt. Berechnet den Spannvektor von A zu C! Stellt eine Gleichung auf, mit welcher jeder Punkt auf dem aufgespannten Sonnensegel ermittelt werden kann!
Kapitel 10 Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie Abschnitt 10. 2 Geraden und Ebenen Startet man mit einem Vektor u → im Raum und betrachtet alle Vielfachen λ u →, λ ∈ ℝ dieses Vektors, so erhält man alle Vektoren, die kollinear zu u → sind (vgl. Infobox 10. 2. 1). Zusammen mit einem Aufpunktvektor - und interpretiert als Ortsvektoren - bilden alle diese Vektoren dann die Parameterform einer Geraden, wie sie im vorigen Abschnitt 10. Ebenen im raum einführung und. 2 untersucht wurde. Aufbauend darauf ist es nun natürlich zu fragen, was man erhält, wenn man mit zwei festen (aber nicht kollinearen) Vektoren u → und v → startet und dann alle möglichen Vektoren betrachtet, die zu diesen komplanar sind, also alle Vektoren, die man durch λ u → + μ v →; λ, μ ∈ ℝ erhält (vgl. wieder Infobox 10. Zusammen mit einem Aufpunktvektor ergibt dies eine Verallgemeinerung des Konzepts der Parameterform einer Gerade, nämlich die Parameterform einer Ebene im Raum, welche in der unten stehenden Infobox beschrieben wird. Für Ebenen werden für gewöhnlich Großbuchstaben ( E, F, G, …) als Variablen verwendet.
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