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- Gauß-Algorithmus / Gauß-Verfahren | Mathematik - Welt der BWL
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- Gaußverfahren | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie
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Gauß-Algorithmus / Gauß-Verfahren | Mathematik - Welt Der Bwl
Und zwar so, dass wir eine Gleichung mit drei Variablen, eine Gleichung mit zwei Variablen und eine Gleichung mit nur einer Variablen erhalten. Man nennt diese Form des Gleichungssystems auch Stufenform. $a_1^{\prime}x + a_2^{\prime}y + a_3^{\prime}z = A^{\prime}$
$b_2^{\prime}y + b_3^{\prime}z = B^{\prime}$
$c_3^{\prime}z = C^{\prime}$
Im Anschluss können wir die Gleichung mit nur einer Variablen nach dieser auflösen und dann rückwärts das Einsetzungsverfahren anwenden. Gaußverfahren | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie. Wir schreiben die einzelnen Schritte noch einmal stichpunktartig auf:
Gauß-Algorithmus – Regeln:
Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens
Rückwärtseinsetzen durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens
Um das Verfahren noch etwas anschaulicher zu machen, rechnen wir ein konkretes Beispiel. Gauß-Algorithmus – Beispiel
Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem mit den drei Variablen $x, y$ und $z$:
$I: ~ ~ ~ 3x+2y+z = 7 $
$II: ~ ~ ~4x + 3y -z = 2$
$III: ~ ~ ~ -x-2y + 2z = 6$
1: Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens
Im ersten Schritt wenden wir das Additionsverfahren an, um so Schritt für Schritt Variablen zu eliminieren.
◦ Dann kommt das y, dann das z, dann das Gleichzeichen,...
◦ und rechts vom Gleichzeichen steht die Zahl ohne Unbekannte. ◦ In jeder der drei Gleichungen kommen die selben drei Unbekannten vor. Vorbereitung
◦ Man lässt bein Aufschreiben alle Unbekannten weg. ◦ Dann bleiben nur noch die Zahlen (Koeffizienten) übrig. ◦ Das spart Schreibarbeit und macht alles übersichtlicher. ◦ Das gibt die Koeffizientenmatrix:
2 1 1 11
2 2 2 18
3 2 3 24 Was ist das erste Ziel? ◦ Das erste Ziel des Algorithmus ist die Stufenform. ◦ Die Stufenform heißt oft auch Dreiecksform:
* * * *
0 * * *
0 0 * *
◦ In der zweiten Zeile steht dann links eine Null. ◦ In der dritten Zeile stehen links zwei Nullen. ◦ Die anderen Zahlen sind ganz egal. Gauß algorithmus aufgaben pdf. Welche Umformungen kann man nutzen? Um das LGS in die Stufenform zu bringen, darf man immer eine vor vier Umformungen durchführen. Man kann die Umformungen auch öfters hintereinander ausführen. Jeder der folgenden Umformungen ist immer erlaubt - aber auch nur diese Umformungen:
◦ alle Zahlen in einer Zeile mit der selben Zahl durchmultiplizieren (außer der Null),
◦ alle Zahlen in einer Zeile durch die selbe Zahl teilen (außer durch Null),
◦ alle Zahlen aus einer Zeile zu den Zahlen einer anderen Zeile addieren,
◦ alle Zahlen von einer Zeile von den Zahlen einer anderen Zeile abziehen.
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Inhalt Der Gauß-Algorithmus in Mathe Gauß-Algorithmus – Erklärung Gauß-Algorithmus – Beispiel Gauß-Algorithmus – Zusammenfassung Der Gauß-Algorithmus in Mathe
Bevor du dir dieses Video anschaust, solltest du schon das Einsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen kennengelernt haben. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man Gleichungssysteme mit drei Variablen mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann. Gauß-Algorithmus – Erklärung
Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe man lineare Gleichungssysteme lösen kann. Gauß-Algorithmus / Gauß-Verfahren | Mathematik - Welt der BWL. Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen sieht in allgemeiner Form folgendermaßen aus:
$a_1x + a_2y + a_3z = A$
$b_1x + b_2y + b_3z = B$
$c_1x + c_2y + c_3z = C$
Die Variablen in diesem Gleichungssystem sind $x, y$ und $z$ und $a_1, a_2, a_3, b_1$ und so weiter sind konstante Koeffizienten, also Zahlen. Um das System zu lösen, müssen wir Schritt für Schritt Werte für die Variablen finden. Die Idee des Gauß-Verfahrens ist, zuerst Variablen durch das Additionsverfahren zu eliminieren.
Das gibt im Beispiel: x=2 11. Endergebnis aufschreiben
◦ x=2 ✔
◦ y=3 ✔
◦ z=4 ✔ Was bedeutet die Lösung anschaulich? Anschaulich steht jede der drei Gleichungen für eine Ebene in einem dreidimensionalen xyz-Koordinatensystem. Die Lösung ist der Schnittpunkt dieser drei Ebenen. Das ist ausführlich besprochen unter => LGS mit drei Gleichungen lösen Synonyme
=> LGS graphisch interpretieren
=> Diagonalverfahren
=> Gauß-Algorithmus
=> Gauß-Verfahren Aufgaben zum Gauß-Algorithmus
Hier sind als Quickcheck einige Aufgaben mit Lösungen zum Gauß-Algorithmus zusammengestellt. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck
Gaußverfahren | Aufgabensammlung Mit Lösungen &Amp; Theorie
Wir beginnen damit, eine neue Gleichung $IIa$ zu bestimmen, in der wir die Variable $x$ eliminieren. Dazu rechnen wir Folgendes:
$IIa = 4\cdot I - 3\cdot II$
Das bedeutet: Wir subtrahieren von dem Vierfachen der Gleichung $I$ das Dreifache der Gleichung $II$. Zunächst berechnen wir die Vielfachen der Gleichungen $I$ und $II$:
$4\cdot I: ~ ~ ~ 4\cdot (3x+2y+z) = 4\cdot 7 \Leftrightarrow 12x + 8y +4z = 28 $
$3 \cdot II: ~ ~ ~12x +9y -3z = 6$
Dann berechnen wir die Differenz und erhalten:
$IIa: ~ ~ ~ (12x + 8y +4z) -12x-9y+3z = 28 -6 $
$IIa: ~ ~ ~ -y + 7z = 22$
Um die Variable $x$ auch in der Gleichung $III$ zu eliminieren, rechnen wir das Folgende:
$IIIa = -1\cdot I - 3\cdot III $
Damit erhalten wir:
$IIIa: ~ ~ ~ 4y - 7z = -25 $
Jetzt müssen wir in der Gleichung $IIIa$ noch die Variable $y$ eliminieren, um die Stufenform zu erhalten. Dazu rechnen wir Folgendes:
$IIIb = 4\cdot IIa + IIIa$
$IIIb: ~ ~ ~ 21z=63$
Insgesamt haben wir jetzt also das Gleichungssystem auf Stufenform gebracht:
$I: ~ ~ ~ 3x + 2y +z = 7$
$IIIb: ~ ~ ~ 21z = 63$
Damit haben wir den ersten Schritt des Gauß-Algorithmus durchgeführt.
Tipp: Wähle deinen Lehrplan, und wir zeigen dir genau die Aufgaben an, die für deine Schule vorgesehen sind. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren:
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem GTR:
Lösungsmengen von Gleichungssystemen
Ein lineares Gleichungssystem kann unterschiedliche Lösungsmengen besitzen:
Das Gleichungssystem hat...
genau eine Lösung: Bei der Umformung in Stufenform bleiben alle Variablen erhalten bzw. bei der Lösung mit dem GTR entsteht am Display bis auf die letzte Spalte eine Einheitsmatrix (Diagonaleinträge 1, restliche Einträge 0), in der letzten Spalte steht die Lösung des Gleichungssystems. keine Lösung: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich irgendwann ein Widerspruch (0x 3 =1) bzw. am Display des GTR erscheinen in der untersten Zeile nur Nullen BIS AUF DEN LETZTEN Eintrag, der von Null verschieden ist. unendlich viele Lösungen: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich eine allgemein gültige Gleichung (0x 3 =0) bzw. am Display des GTR sind ALLE Einträge der untersten Zeile gleich Null.
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