Der Exzess jeder (univariaten) Normalverteilung ist entsprechend Null, wie in der Abbildung unten. Kurtosis (β 2)
Exzess (γ)
Beschreibung
β 2 < 3
γ < 0
platykurtische oder flachgipflige Verteilung
β 2 = 3
γ = 0
mesokurtische oder normalgipflige Verteilung
β 2 > 3
γ > 0
leptokurtische oder steilgipflige Verteilung
Verteilungen mit einer Kurtosis von weniger als 3 (bzw. einem Exzess von weniger als Null) werden als platykurtisch bezeichnet, obwohl dies nicht per se bedeutet, dass die Verteilung "flachgipflig" ist, wie manchmal behauptet wird. Vielmehr bedeutet es, dass die Verteilung nur wenige und weniger extreme Ausreißer produziert als die Normalverteilung. Schiefe und kurtosis von. Ein Beispiel für eine platykurtische Verteilung ist die stetige Gleichverteilung (auch Rechteckverteilung genannt), die keine Ausreißer produziert. Leptokurtische Verteilungen hingegen haben viele Werte in den Rändern (und werden daher auch oft als Heavy-Tail-Verteilungen bezeichnet) und eine Kurtosis größer als 3 (bzw. einem Exzess größer als Null).
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Ein Beispiel für eine leptokurtische Verteilung ist die Laplace-Verteilung, deren Ränder sich langsamer Null annähern (daher langsamer abflachen) als die der Normalverteilung, und daher auch mehr Ausreißer produzieren als die Normalverteilung. Wölbung (Statistik) – Wikipedia. Berechnung
Kurtosis gilt auch als das vierte Moment einer Verteilung, was sich in dem Exponenten in der Formel zur Berechnung unten zeigt:
\[\beta_2 = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4, \quad s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\]
Hierbei handelt es sich allerdings um die Formel für einen verzerrten Schätzer. SPSS berechnet die Kurtosis etwas anders, mit Hilfe der Formel für einen unverzerrter Schätzer:
\[\tilde\beta_2 = \frac{(n+1)\, n}{(n-1)\, (n-2)\, (n-3)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^4}{\sigma^2} – 3\cdot\frac{(n-1)^2}{(n-2) (n-3)}, \quad \sigma = {\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\]
Diesen Rechner zitieren
Hemmerich, W. (2020). StatistikGuru: Kurtosis, Wölbung, Exzess.
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Die Schiefe gibt das Ausmaß an, in dem die Daten asymmetrisch sind. Der Schiefewert – 0, positiv oder negativ – liefert Informationen über die Form der Daten. Abbildung A Abbildung B Symmetrische oder nicht schiefe Verteilungen Mit zunehmender Symmetrie der Daten nähert sich deren Schiefewert null an. Abbildung A zeigt normalverteilte Daten, die per definitionem eine relativ geringe Schiefe aufweisen. Wenn Sie eine Linie durch die Mitte dieses Histogramms von normalverteilten Daten zeichnen, wird ersichtlich, dass die beiden Seiten einander spiegeln. Eine fehlende Schiefe allein impliziert jedoch keine Normalverteilung. Abbildung B zeigt eine Verteilung, bei der beide Seiten einander immer noch spiegeln, die Daten jedoch keineswegs normalverteilt sind. Schiefe und kurtosis youtube. Positiv schiefe oder rechtsschiefe Verteilungen Positiv schiefe oder rechtsschief verteilte Daten werden so bezeichnet, weil der Randbereich der Verteilung nach rechts zeigt und der Schiefewert größer als 0 (d. h. positiv) ist. Gehaltsdaten weisen häufig eine solche Schiefe auf: Viele Mitarbeiter eines Unternehmens erhalten ein relativ kleines Gehalt, während zunehmend weniger Personen sehr hohe Gehälter beziehen.
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Neben den Maßen der zentralen Tendenz (Zentrum einer Verteilung) und den Dispersionsparametern (Streuung der Werte einer Verteilung um dieses Zentrum), lassen sich Verteilungen auch – wenn dies auch weniger gebräuchlich ist – über ihre Form charakterisieren. Schiefe und kurtosis in excel. Dies kann über die Schiefe (linkssteil/rechtsschief, rechtssteil/linksschief oder symmetrisch) sowie über die Wölbung (ähnlich der Wölbung einer Normalverteilung, spitzer als die einer Normalverteilung oder flacher als die einer Normalverteilung) geschehen. Die Schiefe kann über den Momentenkoeffizienten oder über den Quartilskoeffizienten der Schiefe, die Wölbung über die Kurtosis / Exzeß bestimmt werden. Momentenkoeffizient der Schiefe
Die Berechnung des Momentenkoeffizienten der Schiefe basiert auf der bereits bekannten Formel für die Berechnung der Varianz (quadrierte durchschnittliche Abweichung der Werte einer Verteilung von deren arithmetischem Mittel). Da die Berechnung des Momentenkoeffizienten die Berechnung des arithmetischen Mittels voraussetzt, kann dieser nur für metrische Daten ermittelt werden.
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Umgekehrt müssen Verteilungen mit nicht symmetrisch sein. Als Faustregeln kann man für gutartige Verteilungen also festhalten:
rechtsschief:
symmetrisch:
linksschief:
Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, d. h. eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen. (Für einen Test dieser Eigenschaft siehe z. B. den Kolmogorow-Smirnow-Test. ) Interpretation der Schiefe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Rechtsschiefe Verteilungen findet man z. B. Schiefe und Kurtosis in SPSS - Test auf Normalverteilung der Daten - Daten analysieren in SPSS (34) - YouTube. häufig beim Pro-Kopf-Einkommen. Hier gibt es einige wenige Personen mit extrem hohem Einkommen und sehr viele Personen mit eher niedrigem Einkommen. Durch die 3. Potenz erhalten die wenigen sehr extremen Werte ein hohes Gewicht und es entsteht ein Schiefemaß mit positivem Vorzeichen. Es gibt verschiedene Formeln, um die Schiefe zu berechnen. Die gängigen Statistikpakete wie SPSS, SYSTAT, Stata etc. nutzen besonders im Falle einer kleinen Fallzahl von obiger, momentbasierter Berechnungsvorschrift abweichende Formeln.
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Die Schiefe ( englisch skewness bzw. skew) ist eine statistische Kennzahl, die die Art und Stärke der Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt. Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung nach rechts (rechtssteil, linksschief, negative Schiefe) oder nach links (linkssteil, rechtsschief, positive Schiefe) geneigt ist. Jede nicht symmetrische Verteilung heißt schief. [1] [2]
Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Schiefe einer Zufallsvariablen ist das zentrale Moment 3. Ordnung (falls das Moment 3. Ordnung existiert), normiert auf die Standardabweichung:. mit dem Erwartungswert und der Varianz. Diese Darstellung wird auch Momentenkoeffizient der Schiefe genannt. Mit den Kumulanten ergibt sich die Darstellung. Grundlagen der Statistik: Schiefe und Wölbung. Die Schiefe kann jeden reellen Wert annehmen. Bei negativer Schiefe,, spricht man von einer linksschiefen oder rechtssteilen Verteilung; sie fällt in typischen Fällen auf der linken Seite flacher ab als auf der rechten. Bei positiver Schiefe,, spricht man von einer rechtsschiefen oder linkssteilen Verteilung; sie fällt typischerweise umgekehrt auf der rechten Seite flacher ab als auf der linken.
Der Quantilskoeffizient existiert für beliebige Verteilungen, auch wenn Erwartungswert oder die Standardabweichung nicht definiert sein sollten. Eine symmetrische Verteilung besitzt den Quantilskoeffizienten; eine rechtsschiefe (linksschiefe) Verteilung besitzt in der Regel einen positiven (negativen) Quantilskoeffizienten. Für ergibt sich der Quartilskoeffizient. Die Pareto-Verteilung besitzt für beliebige Parameter positive Quantilskoeffizienten. Deutung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beispiel von experimentellen Daten mit einer positiven Schiefe (rechtsschief)
Ist, so ist die Verteilung rechtsschief,
ist, ist die Verteilung linksschief. Für gutartige Verteilungen gilt: Bei rechtsschiefen Verteilungen sind Werte, die kleiner sind als der Mittelwert, häufiger zu beobachten, so dass sich der Gipfel ( Modus) links vom Mittelwert befindet; der rechte Teil des Graphs ist flacher als der linke. Gilt, so ist die Verteilung auf beiden Seiten ausgeglichen. Bei symmetrischen Verteilungen ist immer.
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