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Die Bezeichnung kartesisches Produkt ist der Geometrie entlehnt. Sie impliziert die Vorstellung von orthogonalen Beziehungen zwischen den beteiligten Mengen. Das kartesische Produkt einer Menge führt zu einer neuen Menge, deren Elemente Vektoren sind. Im Falle von zwei Ausgangsmengen entsteht eine Menge geordneter Paare A × B (sprich: "A Kreuz B"). Dabei werden die Vektoren durch vollständige Kombination aller Elemente der Ausgangsmengen gebildet. Ihre Mächtigkeit berechnet sich aus dem Produkt der Kardinalzahlen der Ausgangsmengen. Das kartesische Produkt von zwei Mengen:
\(
\begin{aligned}
A × B & = \{ (a, b)|a∈A \text{ und} b∈B \}
\\
A × B & = \{ (a, b)|a∈A ∧ b∈B \} \quad \text{(aussagenlogisch)}
|A × B| & = |A| |B|
\end{aligned}
\)
Gl. 18
Beispiel:
Es seien A = {1, 2, 3} und B = {2, 3}, dann ist das kartesische Produkt von A × B gleich:
A × B = & \{ (1, 2), (1, 3)
& (2, 2), (2, 3)
& (3, 2), (3, 3) \}
Das kartesische Produkt von beliebig vielen Mengen:
A × B × C... Kartesisches Produkt | Mathebibel. × M = \{ (a, b, c,... m) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C... ∧ m ∈ M \}
|A × B × C... × M| = |A| |B| |C|... |M|
Gl.
- Vektoralgebra: Vektoren in kartesischen Basissystemen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher
- Kartesisches koordinatensystem rechner
- Kartesisches Produkt | Mathebibel
Vektoralgebra: Vektoren In Kartesischen Basissystemen – Wikibooks, Sammlung Freier Lehr-, Sach- Und Fachbücher
Zusammenfassung: Der Vektorrechner ermöglicht die Berechnung des SkalarProdukt von zwei Online-Vektoren anhand ihrer Koordinaten. skalarprodukt online
Beschreibung:
Es ist möglich, das Skalarprodukt von zwei Vektoren aus deren Koordinaten zu berechnen. In einem Koordinatensystem kartesisches `(O, vec(i), vec(j))`, wenn `vec(u)` als Koordinaten (x, y) und `vec(v)` als Koordinaten (x', y') hat. Das Skalarprodukt wird mit der Formel
xx'+yy' berechnet. Diese Definition kann im Raum erweitert werden. In einem direkt kartesischen Koordinatensystem `(O, vec(i), vec(j), vec(k))`, wenn `vec(u)`
als Koordinaten (x, y, z) hat, und `vec(v)` als Koordinaten (x', y', z'). Kartesisches koordinatensystem rechner. Das Skalarprodukt wird nach der Formel xx'+yy'+zz' berechnet. Wenn die Vektoren `vec(u)` und `vec(v)` orthogonal sind, dann ist das Skalarprodukt Null. Der Skalarprodukt-Rechner ermöglicht es, das Skalarprodukt von zwei Vektoren aus ihren Koordinaten zu berechnen. Die Berechnung des Skalarproduktes kann mit Zahlen oder mit literalen Ausdrücken erfolgen.
Kartesisches Koordinatensystem Rechner
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Kartesisches Produkt | Mathebibel
Nichtassoziativität
Das kartesische Produkt ist auch nicht assoziativ,
das heißt für nichtleere Mengen,
gilt im Allgemeinen,
denn die Menge auf der linken Seite enthält Paare, deren erstes Element aus
und deren zweites Element ein Paar aus
ist, wohingegen die Menge auf der rechten Seite Paare enthält, deren erstes
Element ein Paar aus
und deren zweites Element aus
ist. Auch hier gibt es eine kanonische Bijektion zwischen diesen beiden Mengen,
nämlich. Manche Autoren identifizieren die Paare
mit dem geordneten Tripel,
wodurch das kartesische Produkt auch assoziativ wird. Distributivität
Illustration des ersten Distributivgesetzes
Für das kartesische Produkt gelten die folgenden Distributivgesetze
bezüglich Vereinigung,
Schnitt
und Differenzbildung
von Mengen:
Monotonie und Komplement
Das kartesische Produkt verhält sich monoton bezüglich Teilmengenbildung, das heißt
sind die Mengen
nichtleer, dann gilt. Kartesisches produkt rechenregeln. Insbesondere gilt dabei Gleichheit. Betrachtet man die Menge
als Grundmenge von
und die Menge
als Grundmenge von,
dann hat das Komplement
von
in
die Darstellung.
Wofür braucht man das Kreuzprodukt? Das Kreuzprodukt ist eine gute Möglichkeit, schnell einen Vektor zu berechnen, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht. Wie berechnet man das Kreuzprodukt? Schwierig zu erklären, vor allem, weil man immer mit den Vorzeichen durcheinanderkommt. Man nimmt (daher wohl der Name) immer zwei
Komponenten der beiden Vektoren über Kreuz mal. Soll heißen: Erste Komponente vom ersten Vektor mal zweite Komponente vom zweiten Vektor. Anschließend berechnet man die erste Komponente vom zweiten Vektor mal die zweite Komponente vom ersten Vektor. Diese beiden Ergebnisse zieht man
voneinander ab und schreibt sie in die dritte Komponente des Kreuzproduktes... Generell steht in jeder Zeile das, was rauskommt, wenn man die anderen
beiden Zeilen über Kreuz multipliziert. Klingt verwirrend. Kann ich mal ein Beispiel sehen? Kartesisches produkt rechner. Ja, und zwar eines mit den Zahlen 1 bis 6. Dann kann man genau nachverfolgen, welche Zahl wohin "wandert". × = ( 2⋅6-3⋅5) 3⋅4-1⋅6 1⋅5-2⋅4 =
Heißt also: In der ersten Zeile steht das über-Kreuz-Multiplizierte der anderen beiden Zeilen.
Um das Kreuzprodukt der folgenden Vektoren zu berechnen: `vec(u)` [1;1;1] und `vec(v)` [5;5;6],
müssen Sie nur den Ausdruck:
kreuzprodukt(`[1;1;1];[5;5;6]`) eingeben und dann die Berechnung durchführen, um das Ergebnis [1;-1;0] zu erhalten. Syntax:
kreuzprodukt(Vektor;Vektor)
Beispiele:
Dieses Beispiel zeigt, wie man den Vektorprodukt-Rechner verwendet:
kreuzprodukt(`[1;1;1];[5;5;6]`), liefert [1;-1;0]
Online berechnen mit kreuzprodukt (Berechnung Vektorprodukt)