Sinussatz: nötige Werte ermitteln Manchmal sind Rechenaufgaben so gestellt, dass nicht direkt alle nötigen Größen des Dreiecks gegeben sind, manchmal fehlt zum Beispiel ein Winkel, den Du zur Anwendung des Sinussatzes brauchst. In diesem Fall kannst Du den fehlenden Winkel über die Winkelsumme im Dreieck berechnen. Für Dich bedeutet dieser, Satz, dass Du bei zwei gegebenen Winkeln, den fehlenden Winkel ausrechnen kannst. Sinus- und Kosinusfunktionen mit Anwendungsaufgaben – kapiert.de. Abbildung 3: Sinussatz im Dreieck Aufgabe: Berechne die Seitenlänge a! Lösung: Stelle jetzt wie vorher die Formel auf: Das Problem: Wir haben nur gegeben, das ist ein Wert zu wenig, um den Sinussatz anzuwenden. Hier kommt die Winkelsumme ins Spiel. Die Winkel sind gegeben, Du kannst also berechnen: Jetzt gilt das gleiche wie vorher und wir können a durch den Sinussatz berechnen: Sinussatz Herleitung Jetzt kannst Du zwar den Sinussatz im Dreieck anwenden, ihn aber nicht herleiten. Damit beschäftigen wir uns in diesem Abschnitt. Für diese Herleitung ist ein gutes Verständnis des Sinus Voraussetzung, bei Ungewissheit kannst Du Dir unseren Artikel Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck durchlesen.
Sinusfunktionen Zeichnen: Arbeitsblätter Zu Sinusfunktionen
Leben an der Küste Kalle lebt im Dörfchen Deichblick an der Nordseeküste. Er misst an einem Tag jede Stunde den Wasserstand und trägt ihn in ein Koordinatensystem ein. x-Achse: Zeit in Stunden y-Achse: Wasserstand in m Kalle hat seine eingetragenen Punkte verbunden: Wenn das nicht wie eine Sinusfunktion aussieht! Die Sinusfunktion hat ja die allgemeine Gleichung $$f(x)=a*sin(b*(x-c))+d$$. Kalle möchte die Parameter bestimmen. Dann könnte er für beliebige Zeitpunkte den Wasserstand berechnen (x einsetzen, y ausrechnen). Jaaa, in der Realität sieht die Kurve natürlich nicht genau so aus. Übungen zum sinussatz. :-) Die Periodenlänge der Gezeiten ist eigentlich 12, 44 Stunden. Daher verschieben sich die Gezeiten von Tag zu Tag um etwa eine Stunde nach hinten. Außer dem Stand des Mondes gibt es noch weitere Einflüsse. Aber trotzdem bleibt die Sinuskurve immer erkennbar. Bild: U. Muuß Menschen, die mit Ebbe und Flut leben, brauchen jeden Tag die Zeiten vom Hoch- und Tiefwasser. Das kann dann so aussehen: Bild: Günter Schmidt Parameter $$a$$ Der Parameter $$a$$ gibt an, wie stark die Kurve in y-Richtung gestreckt ist.
Sinus- Und Kosinusfunktionen Mit Anwendungsaufgaben – Kapiert.De
In unserem Beispiel haben wir zwei Seiten und einen Winkel gegeben. Die Formel wird so umgestellt, dass wir am Ende nur noch sin (α) haben. Unser Lernvideo zu: Sinussatz
Merke dir! Der Sinussatz ist anwendbar wenn:
zwei Winkel und eine Seite gegeben sind
zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, wobei der Winkel nicht von den zwei gegebenen Seiten eingeschlossen werden darf
Winkel und Verhältnisse
Der " Sinus" eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis aus Gegenkathete zu Hypotenuse. Der " Kosinus" eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis aus Ankathete zu Hypotenuse. Der " Tangens" eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis aus Gegenkathete zu Ankathete., Was haben wir also gelernt? Wir haben gelernt, dass der Sinussatz in jedem Dreieck gilt! Sinusfunktionen zeichnen: Arbeitsblätter zu Sinusfunktionen. Er gilt also im spitzwinkligen, rechtwinkligen und im stumpfwinkligen Dreieck!!! Gibt es Ausnahmen? Ja gibt es! Es gibt Dreiecke, die nicht mit dem Sinussatz berechnet werden können. Es gibt jedoch zwei Situationen, in den man den Sinussatz nicht anwenden kann.
Sinussatz | Learnattack
Eine Hypotenuse wird als längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet, weil diese dem rechten Winkel (der rechte Winkel ist der größte Winkel) gegenüberliegt. Folglich ist die Kathete die kürzere Seite. Somit ist die Hypotenuse immer die längere Seite der Gegenkathete. Da bei der Berechnung von Sinus, die Hypotenuse im Nenner steht und die Gegenkathete im Zähler, kann Sinus nicht größer sein als 1. Da der Nenner größer ist als der Zähler. Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines dreiecks mit dem Sinussatz? Der Sinussatz stellt in der Trigonometrie eine Beziehung zwischen den gegenüberliegenden Seiten eines allgemeinen Dreiecks und den Winkeln her. Die Formeln:
Die Längen von zwei Seiten in dem Dreieck verhalten sich wie die Sinuswerte der Winkel die gegenüberliegen. Somit ist a / sin (alpha) = b / sin (beta) = c / sin (gamma). Der Sinussatz wird häufig auch als Verhältnisgleichung ausgedrückt. Diese sieht wie folgt aus: a: b: c = sin (alpha): sin (beta): sin (gamma). Sinussatz | Learnattack. Ein Beispiel:
Ein Dreieck hat folgende bekannte Größen: die Längen a = 5 cm und b = 4 cm.
Weil die senkrechte Projektion von auf die Ebene ist, gilt. Nach Definition des Sinus gilt:
Außerdem ist. Einsetzen ergibt
Entsprechend erhält man, also insgesamt
Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kosinussatz
Tangenssatz
Geometrie auf der Kugeloberfläche
Formelsammlung Trigonometrie
Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Manfred Leppig (Hrsg. ): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 189–190. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., S. 1–3 ( Online-Kopie)
Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wiktionary: Sinussatz – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen