Die Formel von oben solltest du zum Beispiel zunächst nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit auflösen, bevor du die gegebenen Wahrscheinlichkeiten einsetzt! Antwort: Wenn du alle Schüler, die nicht gelernt haben, zusammenstellst und zufällig einen davon auswählst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass derjenige eine schlechte Note erhalten hat, 93, 9%. Wenn du nun von dem Experiment auf die allgemeine Situation schließen würdest, könnte man sagen, dass es sehr wahrscheinlich ist, eine schlechte Note zu erhalten, wenn man nicht gelernt hat. Tipp: Falls in deiner Aufgabe die Komplemente (auch Gegenwahrscheinlichkeiten) der Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, bloß nicht verzweifeln! Denn es gilt: und Herleitung des Satz von Bayes Wie du sehen kannst, ist der Satz von Bayes ein nützliches Instrument, um ohne Umwege umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Aber wie kommt man eigentlich auf diesen Satz? Ganz einfach! Er lässt sich aus der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten.
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Wahrscheinlichkeit | Ereignis | Benford-Verteilung | Satz von Bayes Rechner: wenn ein Ereignis eine bestimmte Wahrscheinlichkeit hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es dann bei mehreren Durchgängen eintreffen. Dabei ist es hier egal, wie oft das Ereignis eintrifft, es wird nur unterschieden, ob es eintrifft oder nicht. Eine solche Rechnung wird zum Beispiel bei einer Risikoabschätzung gemacht, wo nach einem einmaligen Eintreten kein weiteres mehr stattfinden kann. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Firma, in der man Geld angelegt hat, pleite geht, sei in einem Jahr 1, 5%. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine Pleite innerhalb von 20 Jahren etwa 26%. Wenn die einmalige Wahrscheinlichkeit p 1 ist, dann gilt für n Durchgänge die Formel p n = 1 - (1-p 1) n, 0 < p i < 1
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Das wars auch schon zum Satz von Bayes! Hier findest du nochmals die allgemeine Formel:
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Beispiel
Ein einfaches Beispiel soll die Wirkungsweise des Satz von Bayes verdeutlichen:
Medizinischer Test
Ein medizinischer Test soll das vorliegen einer Krankheit feststellen. Solche Tests sind nicht ganz fehlerfrei, es kommt zu falsch positiven und falsch negativen Ergebnissen. Wir definieren uns folgende Ereignisse:
A: Eine Person ist krank
B: Der Test zeigt ein positives Ergebnis
Der Test wird durchgeführt, wenn gewisse Symptome auftreten. Aus Erfahrung weiß man, dass 2% derjenigen, die den Test machen, wirklich die Krankheit haben. Bevor jemand den Test macht, nehmen wir also an, dass sie Wahrscheinlichkeit für \(A\) 2% ist. Wir nennen diese auch Priori-Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit vor der Beobachtung (lateinisch a priori, etwa ''von vorher''):
\(P(A)=0. 02\) (Wahrscheinlichkeit, die Krankheit zu haben)
\(P(\bar{A})=0. 98\) (Wahrscheinlichkeit, die Krankheit nicht zu haben)
Liegt die Krankheit vor, zeigt der Test in 95% der Fälle ein (korrektes) positives Ergebnis, in 5% der Fälle ein (falsches) negatives Ergebnis:
\(P(B|A) = 0.
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Von diesen werden 3% und somit 299, 7 Personen (9. 990 * 0, 03 = 299, 7) fälschlicherweise als "gesucht" identifiziert. Fälschlicherweise als gesucht identifizierte Personen: 9. 990 * 0, 03 = 299, 7
Richtigerweise als gesucht identifizierte Personen: 10 * 0, 92 = 9, 2
Insgesamt als gesucht identifizierte Personen: 299, 7 + 9, 2 = 308, 9
Verhältnis: 9, 2 / 308, 9 = 0, 02978
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Auslösung eines Alarms tatsächlich auf die Entdeckung einer gesuchten Person zurückgeht, liegt trotz der hohen Treffergenauigkeit der Software aufgrund der geringen a priori-Wahrscheinlichkeit des Merkmals "wird gesucht" bei lediglich 2, 9%. Die hier vorgestellten Inhalte und Aufgaben sind Teil der Vorlesung "Grundlagen der Statistik" im berufsbegleitenden Bachelor-Studiengang Betriebswirtschaftslehre an der Hochschule Harz. Eine vollständige Übersicht aller Inhalte dieser Vorlesung im Wissenschafts-Thurm findet sich hier: Grundlagen der Statistik.
Somit soll gewährleistet werden, dass die SchülerInnen die nötigen Kompetenzen erlangt haben, bevor sie weiterarbeiten. Falls eine Gruppe Schwierigkeiten hat, können sie mich (Lehrperson) auch gerne Fragen. Möchte man trotzdem sicher gehen ob alle SchülerInnen die Kompetenzen erfüllt haben, kann man zum Beispiel die einzelnen Aufgaben von den Gruppen präsentieren lassen. Vor allem die Lösung des Problems sollte mit der gesamten Klasse genauer besprochen werden, da es sein kann, dass nicht alle die Lösung verstanden haben bzw. es sich vorstellen können. Genauso könnte man in der nächsten Einheit noch weitere Aufgaben den SchülerInnen aushändigen, die nach dem selben Prinzip wie das Ziegenproblem funktionieren. Somit kann auch wirklich festgestellt werden, ob die SchülerInnen dieses Problem durchschaut und verstanden haben.
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