Bisweilen finden sich noch Bezeichnungen wie -Version oder -Version des schwachen Gesetzes der großen Zahlen für Formulierungen, die lediglich die Existenz der Varianz oder des Erwartungswertes als Voraussetzung benötigen. Formulierung
Gegeben sei eine Folge von Zufallsvariablen, für deren Erwartungswert gelte
für alle. Man sagt, die Folge genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, wenn die Folge
der zentrierten Mittelwerte in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert, das heißt, es gilt
für alle. Interpretation und Unterschied zum starken Gesetz der großen Zahlen
Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen folgt immer das schwache Gesetz der großen Zahlen. Bernoulli gesetz der großen zahlen in deutsch. Gültigkeit
Im Folgenden sind verschiedene Voraussetzungen, unter denen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, aufgelistet. Dabei steht die schwächste und auch speziellste Aussage ganz oben, die stärkste und allgemeinste ganz unten. Bernoullis Gesetz der großen Zahlen
Sind
unabhängig identisch Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen zum Parameter, das heißt,
so genügt
dem schwachen Gesetz der großen Zahlen und der Mittelwert konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen den Parameter.
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Bernoulli Gesetz Der Großen Zahlen In Deutsch
Das schwache Gesetz der großen Zahlen ist eine Aussage der Wahrscheinlichkeitstheorie,
die sich mit dem Grenzwertverhalten von Folgen von Zufallsvariablen
beschäftigt. Dabei werden Aussagen über die Konvergenz
in Wahrscheinlichkeit der Mittelwerte der Zufallsvariablen getroffen. Das
schwache Gesetz der großen Zahlen ist eng mit dem
starken
Gesetz der großen Zahlen verwandt, dieses verwendet jedoch einen anderen
Konvergenzbegriff, die fast
sichere Konvergenz. Beide zählen zu den Gesetzen der
großen Zahlen und damit zu den Grenzwertsätzen
der Stochastik. Im Laufe der Zeit wurden die Voraussetzungen, unter denen das schwache Gesetz
der großen Zahlen gilt, immer weiter abgeschwächt, während dementsprechend die
zum Beweis nötigen Mittel immer fortgeschrittener wurden. Das Gesetz der großen Zahlen | SpringerLink. Einige der
geschichtlich bedeutsamen Formulierungen des schwachen Gesetzes der großen
Zahlen tragen auch Eigennamen wie beispielsweise Bernoullis Gesetz der großen
Zahlen (nach Jakob
I Bernoulli), Tschebyscheffs schwaches Gesetz der großen Zahlen (nach
Pafnuti
Lwowitsch Tschebyschow) oder Khinchins schwaches Gesetz der großen
Zahlen (nach Alexander
Jakowlewitsch Chintschin).
Bernoulli Gesetz Der Großen Zahlen Meaning
Die Aussage wird auch als das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen bezeichnet. Als eine zentrale Grundlage der Statistik besagt dieses Gesetz, dass die relativen Häufigkeiten S n /n gegen den Erwartungswert p beziehungsweise gegen die "wahre Trefferwahrscheinlichkeit" p konvergieren. In diesem Sinne ist das arithmetische Mittel S n /n also in der schließenden Statistik eine geeignete Schätzfunktion für den unbekannten Parameter p; diese Eigenschaft wird als schwache Konsistenz des Schätzers S n /n bezeichnet. Bernoulli gesetz der großen zahlen en. 3. Eine Version des Starken Gesetzes großer Zahlen besagt, dass die Folge der arithmetischen Mittel aus 1. für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen X 1, X 2,... auch fast sicher gegen den Erwartngswert μ konvergiert.
Diese Aussage geht auf Jakob
I Bernoulli zurück, wurde jedoch erst 1713 posthum in der von seinem Neffen
Nikolaus
I Bernoulli herausgegebenen Ars conjectandi veröffentlicht. Tschebyscheffs schwaches Gesetz der großen Zahlen
identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert und
endlicher Varianz,
dem schwachen Gesetz der großen Zahlen. Bernoulli gesetz der großen zahlen meaning. Diese Aussage geht auf Pafnuti
Lwowitsch Tschebyschow (alternative Transkriptionen aus dem Russischen
Tschebyscheff oder Chebyshev) zurück, der sie 1866 bewies. L 2 -Version des schwachen Gesetzes der großen Zahlen
eine Folge von Zufallsvariablen, für die gilt:. Dann genügt
Dabei ist die Bedingung an die Varianzen beispielsweise erfüllt, wenn die
Folge der Varianzen beschränkt ist, es ist also. Diese Aussage ist aus zweierlei Gründen eine echte Verbesserung gegenüber dem
schwachen Gesetz der großen Zahlen von Tschebyscheff:
Paarweise Unkorreliertheit ist eine schwächere Forderung als
Unabhängigkeit, da aus Unabhängigkeit immer paarweise Unkorreliertheit folgt,
der Umkehrschluss aber im Allgemeinen nicht gilt.
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