vcbi1
09:35 Uhr, 03. 12. 2012
hallo:-) also ich tu mich irgendwie voll schwer eine Gerade von der Koordinatenform in die Parameterform umzuwandeln... Gegeben ist folgende Gerade g: 2 y - 3 4 x = - 1 Bestimmen Sie die Parameterdarstellung von g! Kann mir jemand weiterhelfen?? Dankeschön schon mal;-)
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen. " anonymous
10:22 Uhr, 03. 2012
g: 2 ⋅ y - 3 4 ⋅ x = - 1 soll in die ( besser wäre hier "eine") Parameterform umgewandelt werden. Eine Parameterform sieht so aus: g: X = P + t ⋅ v → Dabei ist X = ( x y) der allgemeine Ortsvektor eines Geradenpunktes, P der Ortsvektor eines festen Punktes auf der Geraden, t ein Parameter und v → der Richtungsvektor. Man benötigt also für die Geradengleichung ( ∈ ℝ 2)einen festen Punkt und den Richtungsvektor. Beides ließe sich aus der gegebenen Geradengleichung ableiten. Es geht aber auch anders. Jede Geradengleichung in Parameterform hat einen Parameter ( hier z.
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Kategorie: Vektoren Parameterdarstellung einer Geraden Aufgaben
Aufgabe: Vektoren implizite Darstellung in Parameterform umformen
gegeben: ist die Gerade g: - 6x + 2y = 8
gesucht: a) explizite Darstellung b) Parameterdarstellung mit x = 0
Lösung: Vektoren implizite Darstellung in Parameterform umformen
a) Explizite Darstellung:
Anweisung: Umformung auf y! -6x + 2y = 8 / + 6x
2y = 6x + 8 /: 2
y = 3x + 4
b) Parameterdarstellung:
1. Schritt: Ermittlung von k
k = 3
2. Schritt: Ermittlung des Richtungsvektors
3. Schritt: Ermittlung eines beliebigen Punktes
Wir ersetzen x durch 0 und setzen in die explizite Darstellung ein! y = 3 • 0 + 4
4y = 4
d. f. Punkt (0/4)
4. Schritt: Aufstellen der Geradengleichung in Vektorform
= + t •
Geradengleichungen und deren vier Darstellungsformen
In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie oder Hauptform der Geraden.
Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ ablesen Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$ und $x_2$ in der Koordinatenform. Folglich gilt: $$ {\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix} $$ Beliebigen Aufpunkt $\boldsymbol{\vec{a}}$ berechnen Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Gerade verwenden. Punkte, die auf der Gerade liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung $4x_1 + 3x_2 - 5 = 0$ erfüllen. Wenn wir z. B. für $x_2$ gleich 1 einsetzen $$ 4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 + 3 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 - 2 = 0 $$ und die Gleichung anschließend nach $x_1$ auflösen, erhalten wir $$ 4x_1 - 2 = 0 \quad |+2 $$ $$ 4x_1 = 2 \quad:4 $$ $$ x_1 = 0{, }5 $$ Der Punkt $(0{, }5|1)$ liegt folglich auf der Gerade. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen: $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $\boldsymbol{\vec{n}}$ und $\boldsymbol{\vec{a}}$ in die Normalenform einsetzen $$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Man spaltet in je eine Gleichung für die x bzw. y-Koordinate und eliminiert so den Parameter
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