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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst. Wusstest du, dass du in deine feste Begleiterin durch die ganze Schule finden kannst? KLICKE HIER UND INFORMIERE DICH
Im entsprechenden Projekt gibt es Seiten mit Erklärungen zu jedem Thema, Seiten mit Aufgaben, Erklärungsvideos, Seiten mit Links zu den wichtigsten YouTube Mathematikseiten, und all das und noch weiteres auf DEINE Schule angepasst!
- Wachstums- und zerfallsprozesse mathe
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Wachstums- Und Zerfallsprozesse Mathe
Die Anzahl fällt jährlich um 60%. Wie viele Schüler haben vor 2 Jahren "Babo" zueinander gesagt? 1. Setzt alles in die Gleichung ein, was ihr wisst, das a erhaltet ihr, indem ihr eins minus die Prozentzahl rechnet, also 1-0, 6=0, 4:
2. Formt das nur noch um und ihr habt den Startwert:
Es haben also anfangs 3125 Schüler "Babo" zueinander gesagt. Eine alarmierend hohe Zahl. Sucht ihr die Zeit t, dann geht ihr so vor:
Der Hype um ein YouTube Video hat exponentiell zugenommen. Die Klicks sind pro Stunde um 30% gestiegen! Wachstums und zerfallsprozesse aufgaben. Anfangs waren es nur 2 Stück. Wie lange dauerte es bis, es 100. 000 wurden? 1. Setzt erst mal alles in die allgemeine Gleichung ein:
Wie ihr seht hat das Video dann nach nur 41, 24 Stunden 100. 000 Klicks! Das sind nicht einmal 2 Tage. Die Halbwertszeit/Verdopplungszeit ist die Zeit, nach welcher sich ein Wert halbiert/verdoppelt hat. Ist die Halbwertszeit oder Verdopplungszeit gesucht, geht ihr so
vor:
Der Sieger des Jungle-Camps ist anfangs sehr bekannt, aber schon nach kurzer Zeit kennt ihn keiner mehr.
Wachstums Und Zerfallsprozesse Aufgaben
Beispiel 2: Coronavirus
Die Zahl der Infizierten verdoppelt sich alle 5 Tage, zu Beginn sind 1% der Einwohner einer Ortschaft mit 1000 Einwohnern krank. Wie lauten der Wachstumsfaktor und die beiden Funktionsgleichungen? Wie viele Kranke wird es in 30 Tagen geben, wenn keine Maßnahmen ergriffen werden? 1% von 1000 entspricht 10 Personen. Der Rechner ist also wie folgt auszufüllen:
Screenshot des Rechners – die Verdopplungszeit ist bekannt
Der Wachstumsfaktor lautet 1. 148698. Zur Berechnung der Infizierten nach 30 Tagen wählt man beim Rechner "Änderung = Zunahme in%" unter "Änderung, t und N. Die Zeit t ist auf 30 zu ändern:
Screenshot: Berechnung der Infizierten nach 30 Tagen
Nach 30 Tagen ohne Maßnahmen wären 640 Personen an Corona erkrankt, also schon fast zwei Drittel der Einwohner! Beispiel 3: Bakterienwachstum
Zu Beginn existieren 1000 Bakterien. Wachstums- und zerfallsprozesse mathe. Nach 3 Stunden sind es schon 5000, wobei von einer exponentiellen Zunahme auszugehen ist. Gesucht ist die Funktionsgleichung. Man wählt beim Rechner zunächst "Eingabe von t, N.
Hierfür brauchen wir den Logarithmus. In jedem steckt die $e$-Funktion
Für $b > 0$ gilt:
\[ a \cdot b^x = a \cdot e^{\ln(b) \cdot x} \]
Dieser Zusammenhang folgt, da $e^{\ln(b)} = b$ gilt. Also mit anderen Worten da $e^x$ und $\ln(x)$ Umkehrfunktion voneinander sind. In unserem Falle hätten wir dann die zweite Darstellung:
\[ K(t) = 5. 000 \cdot e^{\ln(1{, }05) \cdot t} \approx 5. Exponentielles Wachstum und Zerfall - Studimup.de. 000 \cdot e^{0{, }048 \cdot t} \]
Nun fragen sich bestimmt viele, wieso man diesen Zusammenhang kennen sollte. Meiner Meinung nach, sprechen die folgenden beiden Punkte
für die zweite Darstellung:
Das Ableiten einer $e$-Funktion ist einfacher! Das Lösen einer Gleichung ist einfacher, da man nur $\ln$ anwenden muss und dies auf dem Taschenrechner sofort eingebbar ist! Natürlich sollte man sich auch über den Aufwand Gedanken machen, die zweite Darstellung zu nehmen. Kommen wir nun zu einer Beispielaufgabe, an der wir verschiedene Punkte erklären können. Bei einer Bakterienkultur wird die Anzahl der Bakterien stündlich festgehalten.