Theoretisch kann man mit
allerkleinsten Dreiecken die Parabelfläche ganz ausfüllen. Allerdings nur,
wenn man das unendlich fortsetzt, denn es zeigt sich, dass immer noch Platz
frei bleibt, so klein das Dreieck auch wird. Man bekommt mit dieser Methode
doch schon recht genaue Ergebnisse. Weil die Fläche sozusagen
ausgeschöpft wird, nennt man diese Methode auch "Ausschöpfungs-Methode" (mit
Fremdwort: Exhaustions-Methode). Man sieht, dass statt der Dreiecke auch Rechtecke oder Trapeze oder
Kombinationen solcher Figuren genommen werden können. Die Flächen lassen
sich leicht berechnen und müssen nur summiert werden. Das Ergebnis ist aber
immer nur hinreichend genau. Die Ausschöpfungs-Methode ist keine eigentliche Integralrechnung, denn die
Integralrechnung beruht auf einer völlig anderen Methode. Integral [Mathematik Oberstufe]. Heute wird die Integralrechnung im wesentlichen so benutzt, wie sie von
G. W. LEIBNIZ (1646 - 1716) und (1643 - 1727) entwickelt
wurde. Man kann feststellen, dass die Integralrechnung rein rechnerisch die
Umkehr-Rechnung der Differentialrechnung ist, weshalb beide auch zur
Infinitesimal-Rechnung zusammengefasst werden.
Integralrechnung Zusammenfassung Pdf English
In diesem Kapitel besprechen wir die Integrationsregeln. Dabei handelt es sich um Regeln, die bei der Integration von Funktionen beachtet werden müssen. Einordnung In unserer Formelsammlung finden wir die unbestimmten Integrale einiger einfacher Funktionen. Für komplizierte Funktionen müssen wir zur Berechnung der unbestimmten Integrale die Integrationsregeln beachten. Potenzregel Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion. Beispiel 1 $$ \begin{align*} \int \! Integralrechnung zusammenfassung pdf english. x^3 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{3+1}x^{3+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{4}x^{4} + C \end{align*} $$ Beispiel 2 $$ \begin{align*} \int \! x^4 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{4+1}x^{4+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{5}x^{5} + C \end{align*} $$ Faktorregel Mithilfe der Faktorregel können wir den Integranden auseinanderziehen und dadurch die Berechnung vereinfachen. Beispiel 3 $$ \begin{align*} \int \! 4x \, \textrm{d}x &= 4 \int \! x \, \textrm{d}x \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C \\[5px] &= 2x^2 + C \end{align*} $$ Beispiel 4 $$ \begin{align*} \int \!
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Für den gemeinsamen Grenzwert von Unter- und Obersumme der Rechtecke,
das heißt für den Flächeninhalt der Fläche zwischen der Randfunktion f und der x-Achse in einem Intervall [0; b] schreibt man auch:
\(
\lim \limits_{n \to \infty} S_u = \lim \limits_{n \to \infty} S_o = F_0(b) = \int \limits_{0}^{b} f(x) dx
\)
Dieser gemeinsame Grenzwert heißt das bestimmte Integral der Funktion f im Intervall [0; b]. Integralrechnung - Zusammenfassung - Matheretter. 0 und b heißen Integrationsgrenzen,
[0; b] heißt das Integrationsintervall,
f(x) heißt Integrand. Berechnen von Integralen:
F_a(b) = F_0(b) - F_0(a) \Leftrightarrow \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)
Flächen zwischen Funktionsgraph und der x-Achse
Es gibt drei Fälle für die Flächen zwischen Funktionsgraph und der x-Achse über einem Intervall:
Fall 1:
Das Flächenstiick liegt oberhalb der x-Achse. Im vorgegebenen Intervall [a; b] sind alle Funktionswerte
größer oder gleich Null ( \( f(x) ≥ 0 \): \( A = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx \))
Fall 2:
Das Flächenstück liegt unterhalb der x-Achse.
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