Betrag einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten im Video zur Stelle im Video springen (02:01)
Du kannst auch in Polarkoordinaten
darstellen. Hierzu verwendest du den Abstand vom Ursprung und den Winkel. Betrag komplexe Zahl: Beispiel in Polarkoordinaten. Du kannst dann folgendermaßen schreiben. Der Buchstabe steht hier für die e-Funktion. Der Betrag von ist dann. Das heißt, du kannst den Betrag direkt ablesen, denn das ist gerade der Abstand vom Ursprung und genau das ist die Bedeutung von. Beispiel
Wenn wir
gegeben haben, dann lautet der Betrag. Mehr über komplexe Zahlen im Video zum Video springen
Natürlich kannst du auch über den Betrag hinaus mit komplexen Zahlen rechnen. In unserem Video erklären wir dir, wie das geht. Schau es dir gleich an! Zum Video: Komplexe Zahlen
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Sei z = a + b i eine komplexe Zahl. Dann ist
| z | = a 2 + b 2
der Betrag von z. Der Betrag ist eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag von z ist genau dann 0, wenn z = 0 ist. Beispiel: Der Betrag von 2. 5 – 3 i ist ungefhr 3. 095. Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + b i lsst sich mithilfe der konjugierten Zahl z = a – b i ausrechnen. Es gilt
z · z = a 2 + b 2 = | z | 2
Indem also eine komplexe Zahl mit ihrer konjugierten Zahl multipliziert wird, ergibt sich das Quadrat ihres Betrags. Damit ergibt sich der Betrag einer komplexen Zahl z als
| z | = z · z
Die konjugierte Zahl spielt auch bei der Berechnung des Kehrwertes einer komplexen Zahl eine Rolle. Zunchst ist ja nicht klar, welche komplexe Zahl der Bruch
darstellt. Der Trick besteht darin, diesen Bruch mit der konjugierten Zahl des Nenners zu erweitern. Sei z eine komplexe Zahl mit z ≠ 0. Fr den Kehrwert von z gilt
Da | z | 2 eine reelle Zahl ist, lsst sich das Ergebnis hierdurch krzen. Beispiel:
=
1 · (3 - 4 i) (3 + 4 i)·(3 - 4 i)
–
i
Bemerkung: Bei einer komplexen Zahl mit dem Betrag 1 ist der Kehrwert gleich der konjugierten Zahl.
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Einführung in die komplexen Zahlen
Allgemein läßt sich
nicht als reelle Zahl darstellen, denn
ist keine reelle Zahl ( das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv). Die
Quadratwurzel aus den negativen reellen Zahlen bilden also eine neue Art von Zahlen,
man bezeichnet sie als imaginäre Zahlen. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar (x, y) reeller Zahl.
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Die Zahl |z| =
heißt Betrag von z = x +i y. In der Gaußschen Zahlenebene stellt |z| den Abstand des Punktes z vom
Nullpunkt dar. z = 1+2i hat den Betrag |z| =
Zusätzliche Betragsregeln:
Polarkoordinaten:
Eine Komplexe Zahl z = x+iy bzw. der Punkt P(x, y) ist durch die kartesische
Koordinaten x, y festgelegt; z bzw. P(x, y) kann aber auch durch die Länge
r des Ortsvektors
und den Winkel j = arg(z) (Argument von z) bestimmt
werden. Der Winkel schließt den
und die reelle Achse ein. Die Polarkoordinaten r, j von z = x+iy hängen
mit dem kartesischen Koordinaten x, y wie folgt zusammen
x = r cos j, y = r sin
r = |z| =
Für eine komplexe Zahl z = x+iy ergibt sich die folgende trigonometrische
Darstellung:
z = |z|(cos j +isin j)
Dies wird auch als Eulersche Darstellung (, 1707-1783) der komplexen
Zahl z bezeichnet
Konjugierte komplexe Zahl:
Bei einer komplexen Zahl z= x+iy wird das Vorzeichen des Imaginärteils
invertiert, dabei erhält man die konjugierte komplexe Zahl
= x-iy. Dies ist eine Spiegelung an der reellen Achse.
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Für diese Einheit gilt die Lösung: i² = -1. Damit sind nun auch quadratische Funktionen lösbar, deren Funktionswert negativ ist. Diese imaginäre Einheit "i" ist aber nur ein mathematisches Hilfsmittel, um die Wurzel einer negativen Zahl beschreiben zu können. Daher bestehen die komplexen Zahlen aus zwei Teilen, nämlich einem Realteil und einem Imaginärteil. Damit ist eine komplexe Zahl folgendermaßen definiert. Komplexe Zahl: z = x + y·i
Eine komplexe Zahl ist also die Kombination einer reellen Zahl mit einer imaginären Zahl. Dabei ist "x" in der komplexen Zahl der Realteil und y der Imaginärteil der komplexen Zahl z. Für den Umgang mit komplexen Zahlen (Addition, Multiplikation) gibt es feste Rechenvorschriften. Das bedeutet aber nicht, dass wir uns eine komplexe Zahl (jetzt) vorstellen können. Komplexe Zahlen werden vor allem verwendet, um Ströme zu beschreiben (=> Ströme lassen sich auch in Vektorform darstellen). Daher verwendet man auch x, y-Diagramme, um eine komplexe Zahl darzustellen.
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Betrag und Argument einer komplexen Zahl berechnen (Polarkoordinaten)
Hier kann die komplexe Zahl in Normalform eingegeben werden:
z = + *i
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Man dividiert eine komplexe Zahl z 1 durch eine komplexe Zahl z 2,
indem man den Betrag r 1 von z 1 durch den Betrag r 2
von z 2 dividiert und das Argument j 2 von
z 2 vom Argument j 1 von z 1
subtrahiert. z 1: z 2 = r 1 (cos j 1 +isin j 1): r 2 (cos j 2 +isin j 2)
z = z 1: z 2 = (r 1: r 2)[cos( j 1 - j 2)+isin( j 1 - j 2)]
z = 3/4[cos(30°-45°)+isin(45°-60°)] = 3/4(cos-15°+isin-15°)
Andere Schreibweise: Die Gleichung z n = w hat genau dann eine
Lösung wenn w = 0 ist. Þ z
= 0
Im Fall w = |w|e i j
¹ 0 besitzt z n = w genau
n Lösungen:
Die Lösungen bilden die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks auf
dem Kreis um 0 mit dem Radius
Im Fall z n = 1 erhält man daraus die |w| = 1 und j
= arg(w) = 0 die n-ten Einheitswurzeln
n-te Einheitswurzel für n=6
Berechnung der Quadratwurzel mit dem Computer
Sei w ¹ 0 eine komplexe Zahl und liegt die trigonometrische
Darstellung vor (w = |w|e i j). So können
ihre Quadratwurzeln leicht berechnet werden. Ist w = u+iv gegeben, so können die Lösungen von z 2 = w
wie folgt in der Form z = x+iy angegeben werden.
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