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Ist nun j festgewählt, so gilt det A = a 1; …; ∑ i a ij e i; …; a n = ∑ i a ij det A ij = ∑ i (−1) i + j a ij det A ij ′. Die Zeilenentwicklung zeigt man analog. Die im Entwicklungssatz von Laplace auftauchenden Vorzeichen (−1) i + j haben eine schachbrettartige Verteilung (vgl. das Diagramm rechts). Laplace'scher Entwicklungssatz - elektro-archiv.de. + − + − … − + − + … + − + − … − + − + … … … … … … Die Spalten- oder Zeilenentwicklung kann mehrfach hintereinander durchgeführt werden. Die Beispiele (3) und (4) illustrieren dieses Vorgehen. Beispiele (1) Entwickeln wir A ∈ K 2 × 2 nach der ersten Spalte, so erhalten wir det A = a 11 det A 11 ′ − a 21 A 21 ′ = a 11 a 22 − a 21 a 12. (2) Entwickeln wir A ∈ K 3 × 3 nach der ersten Zeile, so erhalten wir det A = a 11 det A 11 ′ − a 12 A 12 ′ + a 13 A 13 ′ = a 11 det a 22 a 23 a 32 a 33 − a 12 det a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 det a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31, also erneut die Regel von Sarrus (vgl. 7. 4).
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Laplace'scher Entwicklungssatz (für alle nxn Matrizen) Das Prinzip des Entwicklungssatzes ist es, die Determinante einer großen Matrix aus den Determinanten von mehreren kleineren Matrizen zu berechnen. Das bezeichnet man auch als entwickeln. Entwicklungssatz von laplace pdf. Hier kann man entscheiden, ob man eine Determinante nach den Spalten oder den Zeilen entwickelt. det A = ∑ i = 1 n ( − 1) i + j a i j ⋅ det A i j \det A=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\cdot\det A_{ij} Entwicklung nach der j-ten Spalte det A = ∑ j = 1 n ( − 1) i + j a i j ⋅ det A i j \det A=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\cdot\det A_{ij} Entwicklung nach der i-ten Zeile Allgemein bedeutet dies nichts anderes als, dass man sich eine Spalte oder eine Zeile heraus sucht, über die man die neuen Determinanten entwickelt: Man sucht sich zunächst eine Zeile aus der Matrix aus. Hier zum Beispiel die erste Zeile. Dann wendet man die Formel für die Entwicklung nach Zeilen an: Analog funktioniert dies auch bei den Spalten. Es ist egal, welche Spalte oder Zeile man sich aussucht.
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Entwicklung nach der j-ten Spalte Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei dieselbe Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Berechne die Determinante dieser Matrix! Möchten wir nach der ersten Spalte entwickeln, müssen wir wieder zunächst die drei Streichungsdeterminanten berechnen, um dann die Determinante von $A$ ermitteln zu können. Spalte 1. Spalte und der 1. Zeile: $A_{11} = \begin{pmatrix} \not{1} & \not{2} & \not{3} \\ \not{2} & 1 & 3 \\ \not{1} & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \longrightarrow |A_{11}| = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$ 2. Spalte und der 2. Zeile: $A_{21} = \begin{pmatrix} \not{1} & 2 & 3 \\ \not{2} & \not{1} & \not{3} \\ \not{1} & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \longrightarrow |A_{21}| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3$ 3. Spalte und der 3. Www.mathefragen.de - Laplace Entwicklungsatz. Zeile: $A_{31} = \begin{pmatrix} \not{1} & 2 & 3 \\ \not{2} & 1 & 3 \\ \not{1} & \not{1} & \not{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \longrightarrow |A_{31}| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3$ 4.
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Außerdem kannst du aus der Matrix A ablesen, dass ist. Damit erhältst du für den ersten Summanden
Spalte 2: Gehe nun über zur zweiten Spalte. Um die Untermatrix zu bekommen streichst du die erste Zeile und die zweite Spalte von A
Spalte 2
Du erhältst damit. Berechne nun die Determinante der Matrix. Der zweite Summand lautet mit also. Spalte 3: Wiederhole das Ganze noch für die dritte Spalte. Du erhältst die Untermatrix durch das Streichen der ersten Zeile und der dritten Spalte. Spalte 3
Sie lautet somit. Berechne nun wieder die Determinante der Matrix. Entwicklungssatz von laplace in beachwood. Damit hast du nun den dritten Summanden der Formel des Laplaceschen Entwicklungssatzes bestimmt. Insgesamt lautet die Determinante der Matrix A also. Bemerkung: Um das Vorzeichen einfacher zu bestimmen, kannst du dir auch einfach merken, dass bei jedem Wechsel einer Zeile oder Spalte, sich auch das Vorzeichen ändert. Matrix nach einer Spalte entwickeln
Schau dir als nächstes Beispiel die Matrix an. Diesmal entwickeln wir die Determinante nach der zweiten Spalte, womit die Determinante von A wie folgt lautet:
Du bestimmst also als erstes die Untermatrizen, und, indem du die zweite Spalte und die entsprechende Zeile streichst.
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Der Laplace'sche Entwicklungssatz ist eine Möglichkeit um die Determinante einer Matrix zu bestimmen. Theorie
Sei
d. h. A ist eine quadratische Matrix der Dimension n wobei jedes Element der Matrix mit den Inidzes j und k angegeben wird. Dann gilt:
Entwicklung nach der j-ten Zeile
Also:
Die Determinante dieser Matrix ergibt sich als Summe aller Matrixelemente aus Zeile j multipliziert mit der entsprechenden Untermatrix und einer Vorzeichenkomponente. Entwicklungssatz Laplace Beispiel Unklarheiten | Mathelounge. Die Untermatrix entsteht wenn man die Elemente aus der j-ten Zeile und der k-ten Spalte des jeweiligen Elementes aus der Ursprungsmatrix A streicht. Entsprechendes gilt auch für eine spaltenweise Entwicklung:
Entwicklung nach der k-ten Spalte
Eine Entwicklung einer 4×4 Matrix nach der ersten Zeile stellt sich also in der ersten Stufe folgendermaßen dar:
Nach diesem Prinzip kann die Determinante einer beliebig großen quadratische Matrix bestimmt werden, indem diese immer weiter in Unterdeterminanten zerlegt wird. Ab einer Dimension von3x3 kann dann zur Bestimmung der Determinanten die Saruss'schen Regel eingesetzt werden.
Laplacescher Entwicklungssatz, Beispiel 4X4, Determinante bestimmen | Mathe by Daniel Jung - YouTube