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Aufgaben
Aufgabensammlung zur Übung und Wiederholung
Die PQ Formel dient zum einfachen Lösen von quadratischen Gleichungen. Doch was ist eigentlich eine quadratische Gleichung? Als quadratische Gleichung wird eine Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ oder eine Gleichung, welche sich auf diese Form bringen lässt, bezeichnet. $a, b, c$ sind hierbei bekannte Koeffizienten, $x$ ist die gesuchte Unbekannte. PQ-Formel: Erklärung und Beispiele. Damit es sich um eine Quadratische Gleichung handelt muss $a \neq 0$ sein, andernfalls würde der quadratische Term $x^2$ entfallen und es wäre kein quadratisches Glied mehr vorhanden. Beispiele für Quadratische Gleichungen die mit der PQ Formel gelöst werden können
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$x^2 + 6x + 8 = 0$
$3x^2 + 6x + 2 = 0$
PQ Formel (kleine Formel)
$\large{x_{1, 2}=-{\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}}$
Durch Einsetzen von $p$ und $q$ erhält man die beiden Lösungen
$\large{x_{1} = -{\frac{p}{2} {\color{red}{+}} \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}}$
$\large{x_{2} = -{\frac{p}{2} {\color{red}{-}} \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}}$
Anwendung der PQ Formel
Die quadratische Gleichung muss zur Anwendung der PQ Formel in Normalform und Nullform vorliegen.
Eine kleine Schlussbemerkung: es gibt mehrere Möglichkeiten eine quadratische Gleichung zu lösen. Zum übergeordneten Begriff Mitternachtsformel gehören p-q-Formel und die a-b-c-Formel (siehe Kapitel A. 12. 04), desweiteren kann man noch die quadratische Ergänzung (siehe Kapitel G. 04. 06) anwenden (letztere ist in Europa jedoch nicht sehr gängig). Es gibt themenverwandte Videos, die dir auch helfen könnten:
>>> [A. 10] Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
>>> [G. Mathe pq formel aufgaben o. 03] Lösung a-b-c-Formel
Sobald du dieses Video verstehst, kannst du auch folgendes Thema angehen:
>>> [A. 09] Vermischte Aufgaben
Unser Lerntipp:
Versuche die folgenden pq-Formel Beispiele erst einmal selbstständig zu lösen, bevor du das Lösungsvideo anschaust. PQ-Formel Beispiel 1
x 2 +4x–5=0
Lösungsvideo dieser Aufgabe
PQ-Formel Beispiel 2
2x 2 –12x–14 =0
Lösung dieser Aufgabe
PQ-Formel Beispiel 3
x 2 +10x+25=0
PQ-Formel Beispiel 4
x 2 –4x+6=0
PQ-Formel Beispiel 5
4x 2 +4x+1=0
PQ-Formel Beispiel 6
PQ-Formel Beispiel 7
x 2 –6x+12=0
PQ-Formel Beispiel 8
4x 2 –8x+3=0
PQ-Formel Beispiel 9
(x–4)·(x+6)+16=0
PQ-Formel Beispiel 10
x 2 –5tx+4t =0
PQ-Formel Beispiel 11
2x 2 –5x+3k=0
PQ-Formel Beispiel 12
Lösung dieser Aufgabe
Hierzu soll folgende Gleichung betrachtet und exemplarisch durchgerechnet werden: 6 X 2 + 6 = 13 X /-13 X 6 X 2 - 13 X + 6 = 0
Eine direkte Anwendung der pq-Formel ist hier nicht möglich, wohl aber
kann die abc-Formel direkt angewendet werden. Möchte man die pq-Formel anwenden, so müssen wir die Gleichung erst
auf beiden Seiten durch 6 teilen, denn vor dem X 2 darf kein Faktor
<1 bzw. >1 stehen!!! PQ-Formel einfach erklärt mit vielen Beispielaufgaben Mitternachtsformel, p-q Formel, pq Formel, pqformel, pq formel aufgaben, pq formel rechner | Mathe-Seite.de. Wir erhalten dann: 6 X 2 - 13 X + 6 = 0 /: 6
LÖSUNG:
Anwendung der abc-Formel/pq-Formel
nach vorheriger Umwandlung:
Besteht die quadratische Gleichung aus Brüchen, so müssen wir erst umwandeln,
bevor wir die
pq- Formel oder abc - Formel anwenden können. :
Beispielaufgabe, sowohl mit der abc- Formel,
als auch
mit der pq-Formel gelöst:
Die pq-Formel ist sicherlich einfach in der Anwendung für den Fall,
dass nicht zu Anfang dividiert werden muss. Dann nämlich entstehen oft Brüche, die mit der abc-Formel (Mitternachtsformel)
vermieden werden. Insofern zeigt sich die abc - Formel bei all
denjenigen quadratischen Gleichungen als vorteilhafter, wo vor dem X 2 ein
Faktor ungleich 1 steht.
Werft dazu einmal einen Blick auf die nächste Grafik. Dort sollten euch hoffentlich kleine Kreuze auffallen. Diese Stellen nennt man Nullstellen, denn an diesen Stellen wird die x-Achse geschnitten. Schaut euch noch einmal genau die Grafik von eben an. Wenn ihr dies macht solltet ihr zwei Dinge bemerken:
Kleine Kreuzchen, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen. An diesen Stellen ist y immer Null, also y = 0. So sehen quadratische Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen aus. Diese haben allgemein die Form f(x) = y = ax 2 + bx + c = 0, Beispiel für quadratischen Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen wären f(x) = 2x 2 + 3x + 2 = 0 oder y = 3x 2 - 4x - 2. Genau solche Gleichungen kann man mit der PQ-Formel lösen. Mathe pq formel aufgaben 6. Hinweis: Mit der PQ-Formel kann man quadratische Funktionen bzw. quadratische Gleichungen lösen. Um nun Aufgaben mit der PQ-Formel zu lösen benötigen wir noch eine entsprechende Formel. Der Zusammhang sieht wie folgt aus (danach sehen wir uns Beispiele an):
Es gibt hier einen häufig begangenen Fehler: Man muss zunächst die Gleichung auf die Form in der letzten Grafik bringen.